1913　旧制高校選抜試験MathJax

【１】　次の二式の最大公約数及び最小公倍数を求めよ．

$x^4+3x^2+6x+35\text{，}{x}^3-4x^2+10x-7$

【２】　二つの数あり其の和其の積及び其の平方の差悉く相等しと云ふ其の二数を求めよ．

【３】　甲乙二人池の周囲を走るに同一の向きに行く時は二十分毎に一所になり相反する向きに行くときは四分毎に出会ふと云ふ，甲乙各々幾分間に一周するか．

【４】　二つの式$2x^3-x^2+x-6$と$6x^3-9x^2+10x-15$とを同時に零ならしむる$x$の値を求めよ．

【５】　$x+{\displaystyle \frac{1}{y}}=1$にして且$y+{\displaystyle \frac{1}{z}}=1$なるときは$z+{\displaystyle \frac{1}{x}}$の値も亦$1$なることを証せよ．

【６】　$x$に関する方程式$x^2-(2x^2+2ab-3b^2)x+10{(a-b)}^2=0$の二根が$6$及び$30$なるときは$a$及び$b$の値各々如何．

【７】　或人年利率六分にて金三千円を借り満一年毎に一定の額を返済して三カ年間に之を皆済せんとす，毎回の支払い額如何，但し利息は満一年毎に計算し支払額に於ける一円未満は四捨五入するものとす．

【８】　底辺$\mathrm{BC}$及び頂角$\mathrm{A}$が一定なる三角形$\mathrm{ABC}$に於いて角$\mathrm{A}$の二等分線が底辺に交る点を$\mathrm{P}$とし$\mathrm{AP}$を延長して其の上に点$\mathrm{Q}$を取り$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{AQ}$の包む矩形を$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$の包む矩形に等しからしむるときは$\mathrm{Q}$は定点なることを証せよ．

【９】　定円内の一定点を過ぎる弦の中点の軌跡を求めよ．

【10】　三角形$\mathrm{ABC}$の頂角$\mathrm{A}$の二等分線が底辺及び外接円に交わる点をそれぞれ$\mathrm{D}$及び$\mathrm{E}$とす，今若し$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{AE}$の包む矩形の面積が三角形$\mathrm{ABC}$の面積の二倍ならば頂角$\mathrm{A}$は直角なることを証せよ．

【11】　定長直線$\mathrm{PQ}$は其の両端$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が$\mathrm{AB}$を直径とせる与へられたる半円周上にあるやうに動くものとす，今$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の四点が$\mathrm{APQB}$の順に在る場合に於て二直線$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BQ}$の交点の軌跡を求めよ．

【12】　$\mathrm{A}$は$0\mathrm{°}$と$180\mathrm{°}$との間の角にして$\tan A=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$なるとき$\tan {\displaystyle \frac{A}{2}}$の値を求めよ．

【13】　$\tan \theta ={\displaystyle \frac{b}{a}}$なるとき$a\cos 2\theta +b\sin 2\theta =a$なることを証せよ．