1917　旧制高校選抜試験MathJax

【１】　次の式を簡単にせよ．

${[16+{\{{\displaystyle \frac{x^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{1}{2}}}}+{\displaystyle \frac{x^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}}}-2{\displaystyle \frac{x-a}{x+a}}\}}^2]}^{\frac{1}{2}}$

【２】　二つの有理数の和は其の二数の中絶対値の大なるものと同符号を有することを説明し依りて方程式$a{x}^2-x+b=0$の二根が有理数なるとき其の二根の中絶対値の大なるものは$a$と同符号にして絶対値の小なるものは$b$と同符号なることを証せよ．

【３】　次の連立方程式を解け．

$x+y=5\text{，}(x^2+y^2)(x^3+y^3)=455$

【４】　凸多角形あり其の内角は等差級数をなし最小角は$120\mathrm{°}$にして公差は$5\mathrm{°}$なりといふ其の辺数を問ふ．

【５】　四辺形$\mathrm{ABCD}$に於て辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$との和が辺$\mathrm{BC}$と辺$\mathrm{DA}$との和に等しきときは此の四辺形に内接する円を画き得ることを証せよ．

【６】　与へられたる円周上の与へられたる二点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$より此の円周上の一点に至る二直線上の正方形の和が最大となる点を求めよ．

【７】　$a^2-3b^2-3c^2+10bc-2ca-2ab$を$a$を含める式の平方と$a$を含まざる式の平方との差に変形して之を因数に分解せよ．

【８】　$a\text{，}b\text{，}c$が実数なるとき$(x+a)(x+b)+(x+c)(x+a)+(x+b)(x+c)$が$x$に於ける完全平方なる為には$a\text{，}b\text{，}c$は互いに相等しきことを証せよ．

【９】　次の連立方程式を解け．

$x+y+\sqrt{x+y}=12\text{，}{x}^3+y^3=189$

【10】　$x^3+a{x}^2+bx+c$及$x^2+bx+c$が公約数$x-k$を有するときは${(a-1)}^2-b(a-1)+c=0$なることを証せよ．但し$a$は$1$に等しからず又$c$は零に等しからざるものとす．

【11】　${(1.08)}^x$の整数部分が四桁の数なる為には$x$の最大値及び最小値は如何なる数なるか．但し$x$は整数なりとす．

$\log 2=0.30103\text{，}\log 3=0.47712$

【12】　円に内接せる四辺形$\mathrm{ABCD}$の対角線が互いに直角に交るとき其の交点$\mathrm{O}$より各辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$へ下せる垂線の足を夫々$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$とすれば此の四点は同一円周上に在ることを証せよ．

【13】　円の二つの弦$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$の挟む角$\mathrm{BAC}$が$60\mathrm{°}$なるとき弧$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{M}$と弧$\mathrm{AC}$の中点$\mathrm{N}$とを結付くる直線が$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$と交わる点を夫々$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とせば$\mathrm{PQ}$上の正方形は$\mathrm{PM}$と$\mathrm{QN}$との包む矩形に等しきことを証せよ．

【14】　$2\sin A=\sqrt{3}\tan A$に適する角$A$の中にて$-360\mathrm{°}$と$360\mathrm{°}$との間に在るものを悉く求めよ．

【15】　$\cos 108\mathrm{°}\cos 132\mathrm{°}+\cos 132\mathrm{°}\cos 12\mathrm{°}+\cos 108\mathrm{°}\cos 12\mathrm{°}$の値を求めよ．