1928　第二高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　二組の連立方程式

$\begin{array}{l}ax+by+cz=0\\ {\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}=0\\ {\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{y}}-{\displaystyle \frac{3}{z}}=0\end{array}\}$

$\begin{array}{l}ax-by+cz=1\\ ax+by-cz=1\\ {\displaystyle \frac{5}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{y}}-{\displaystyle \frac{3}{z}}=0\end{array}\}$

が同一根を有するときはその根及び$a\text{，}b\text{，}c$の値如何．

【２】　$abc=1$なるときは

${\displaystyle \frac{1}{ab+a+1}}+{\displaystyle \frac{1}{bc+b+1}}+{\displaystyle \frac{1}{ca+c+1}}=1$

なることを証明せよ．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とし，頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$よりその対辺に下せる垂線の足をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とすれば$\mathrm{AO}\text{，}\mathrm{BO}\text{，}\mathrm{CO}$はそれぞれ$\mathrm{EF}\text{，}\mathrm{FD}\text{，}\mathrm{DE}$に垂直なることを証明せよ．

【４】　半径$a$なる円に於ける角$60\mathrm{°}$なる扇形に内切し（一円は両半径に，他の二円はそれぞれ一半径と弧とに切する様に）且つ二つずつの互いに外切する三つの等円の半径の長さを求めよ．