1928　第六高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　次の(イ)，(ロ)に於ては$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は有理数にして$x$は有理数にあらずとす．

(イ)　${\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}$が有理数なるときは${\displaystyle \frac{a}{c}}={\displaystyle \frac{b}{d}}$なる事を証明せよ，但し$c\ne 0\text{，}d\ne 0$なりとす．

(ロ)　${\displaystyle \frac{ax}{cx+d}}$は有理数なりや否やを吟味せよ，但し$a\ne 0\text{，}c\ne 0\text{，}d\ne 0$なりとす．

【２】　次の級数の初項より第$n+1$項までの和を計算せよ．

$x^n,(a+b)x^{n-1},(a^2+2b)x^{n-2},(a^3+3b)x^{n-3},\cdots$

【３】　$x$に関する二つの二次方程式

(1)　$a{x}^2+bx+c=0$

(2)　$a{(sx-q)}^2-b(sx-q)(rx-p)+c{(rx-p)}^2=0$

あり(1)の二根を$\alpha \text{，}\beta$とせば(2)の二根は${\displaystyle \frac{p\alpha +q}{r\alpha +s}}\text{，}{\displaystyle \frac{p\beta +q}{r\beta +s}}$なることを証明せよ，但し$r\ne 0\text{，}ps-qr\ne 0$なりとす．

【４】　面積の和と周の和とが夫々，一つの与へられたる矩形の面積と周とに等しき二つの正方形を作図し得る為には，与へられたる矩形は正方形なるべからず，且つ此の矩形の大小二辺の比は正方形の一対角線と一辺との和と差との比より大なるべからず，其の証明を問ふ．

【５】　頂角$\mathrm{A}$が直角なる二等辺三角形$\mathrm{ABC}$と底辺$\mathrm{BC}$を共有し頂角$\mathrm{P}$が直角ならざる三角形$\mathrm{PBC}$あり二直線$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{PC}$は点$\mathrm{Q}$にて相交はり，二直線$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{PB}$は点$\mathrm{R}$にて相交はり，二線分$\mathrm{AQ}\text{，}\mathrm{AR}$は相等しとす，然るときは三角形$\mathrm{PBC}$は二等辺三角形なることを証明せよ．

【６】　二定点$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$より点$\mathrm{P}$に至る距離の平方の和が$2a^2$と$2b^2$との間にあるとき，点$\mathrm{P}$が存在する区域を問ふ．但し$\mathrm{MN}$間の距離は$2c$にして$0<a<b\text{，}0<c<b$なりとす．