1928　第七高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$x^2-x+p$と$x^3+x^2+x+3+p$とが四次の最小公倍数を有する様に$p$の値を定めよ．

【２】　次の連立方程式を満足する$x\text{，}y$の実数値を求めよ．但し$a$は正数とす．

$y^2={\displaystyle \frac{x^2(a+x)}{a-x}}\text{，}{x}^2-ax-a^2=0$．

【３】　$b^2-4ac>0$ならば$a{x}^2+bx+c$の値は正とも負ともなることを証せよ．且つ$a>0$として，此式の値を正ならしむる$x$の値の範囲を求めよ．但し$a\text{，}b\text{，}c$は定まれる実数にして$x$の値は変動するものとす．

【４】　甲乙二人$\mathrm{AB}$両地間を往復するに，甲が$\mathrm{A}$地を出発すると同時に乙も$\mathrm{B}$地を出発し$\mathrm{B}$地を距る$3$粁の$\mathrm{C}$地に於て両人相会せり．それより甲は$\mathrm{B}$地に向ひ乙は$\mathrm{A}$地に向ひ，各先方に到着して直に引き返すものとす．而して甲が$\mathrm{A}$地に帰着せるは$\mathrm{C}$地にて両人相会したる時より一時十五分を経たる時にして，此時乙は尚$\mathrm{A}$地を距たる$3$粁半の地点にありたりといふ．両地間の距離を求めよ．

【５】　等差級数と等比級数とあり．其初項は正数にして相等しく，其第$(2n+1)$項も相等しといふ．第$(n+1)$項は何れが大なるか．

【６】　$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}$を円$O$の互いに垂直なる直径とす．$\mathrm{D}$を中心とし$\mathrm{DA}$を半径とする円弧と$\mathrm{OC}$との交点を$\mathrm{E}$とすれば，二つの円弧$\mathrm{AEB}\text{，}\mathrm{ACB}$の間に囲まれたる部分の面積は三角形$\mathrm{ABD}$の面積に等し．之を証明せよ．

【７】　$\mathrm{AB}$を定円の定弦とし，$\mathrm{P}$を弧$\mathrm{AB}$の中点とす．$\mathrm{P}$より直線を引き，これと弦$\mathrm{AB}$及び円周との交点を夫々$\mathrm{B}$及び$\mathrm{E}$とす．次に$\mathrm{PD}$に等しく弦$\mathrm{PF}$をとり$\mathrm{EF}\text{，}\mathrm{AB}$の交点$\mathrm{G}$とすれば$\mathrm{PG}$は$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{EF}$の交角を二等分す．之を証せよ．

【８】　互いに平行なる二直線$\mathrm{XY}\text{，}$${\mathrm{X}}^{\prime }{\mathrm{Y}}^{\prime }$及び一点$\mathrm{P}$を与ふ．$\mathrm{XY}\text{，}$${\mathrm{X}}^{\prime }{\mathrm{Y}}^{\prime }$に共通なる垂線$\mathrm{AB}$を引き角$\mathrm{APB}$を最大ならしめよ．