1928　水戸高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$X=\sqrt[3]{-{\displaystyle \frac{q}{2}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{q^2}{4}}+{\displaystyle \frac{p^3}{27}}}}+\sqrt[3]{-{\displaystyle \frac{p}{2}}-\sqrt{{\displaystyle \frac{q^2}{4}}+{\displaystyle \frac{p^3}{27}}}}$なるとき$X^3+pX+q$の値を計算せよ．

（編注）後半の三乗根の$-{\displaystyle \frac{p}{2}}$は，原典では${\displaystyle \frac{p}{p}}$となっている．

【２】　二次式$a{X}^2+bX+c$が完全なる平方なるときその平方根を策めよ．

【３】　次の無理方程式を解け：

$\sqrt{X}+\sqrt{4a+X}=2\sqrt{b+X}$

【４】　第三項が$48$にして第六項が$3072$なる等比級数の第四項幾何なるか．

【５】　四次式$a{x}^4+h{x}^3+(2a+b)x^2+hx+a$が$x$の総ての実数値に対して正なるための条件を出せ．

【６】　$y$は$x$に比例する数と$x$に反比例する数との和にして，$x=a$なるとき$y=na+b\text{；}x=b$なるとき$y=nb+a$なりと云ふ，$x$の如何なる値に対して$y=nab+1$なるか．

【７】　梯形の面積を与ふる一つの定理を述べ且つ証明せよ．

【８】　与へられたる円周上の任意の一点$\mathrm{A}$に於いてこれに内接する円を画き，この円に切する弦を$\mathrm{BC}\text{，}$切点を$\mathrm{D}$とするとき直線$\mathrm{AD}$は角$\mathrm{BAC}$を二等分することを証明せよ．

【９】　二つの同心円あり，外円周上の一点$\mathrm{A}$より内円に切線$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{AQ}$を引き切点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{P}$を過る直線$\mathrm{QPR}$が外円と交る点を$\mathrm{R}$とし，直線$\mathrm{APB}$と外円との交点を$\mathrm{B}$とすれば，

${\mathrm{RA}}^2:{\mathrm{RB}}^2=\mathrm{QB}:\mathrm{PR}$

なることを証明せよ．