1928　松山高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$が相異なる三数にして$a(y-z)+b(z-x)+c(x-y)=0$なるとき${\displaystyle \frac{x-y}{a-b}}={\displaystyle \frac{y-z}{b-c}}={\displaystyle \frac{z-x}{c-a}}$なることを証せよ．

【２】　完全平方数は次の何れかの形を有することを証明せよ．

$7m\text{，}7m+1\text{，}7m+2\text{，}7m+4$

（但し$m$は零若くは正の整数とす）

【３】　二次方程式$x^2+px+q=0$に於て一根が他の根の$n$倍なるためには$p\text{，}q$の間に如何なる関係存在すべきか，尚$n=4$なるとき$30$を超えざる$p\text{，}q$の正の整数値を求めよ．

【４】　与へられたる三角形の三中線を辺とする第二の三角形を作り，更にその三中線を以て第三の三角形を作る，かくの如き手続を限りなく続け行ふときこれらの三角形の面積の和を求めよ．

【５】　$x\text{，}y$の実数値に対して積$x(x^2+y^2)=a(x^2-y^2)$が成立つための$x\text{，}y$の範囲を定めよ．（但し$a>0$とす）

【６】　点$\mathrm{A}$に於て内切する円$O$及び円$O^{\prime }$の半径を夫々$R\text{，}{\displaystyle \frac{R}{2}}$とす，直径$\mathrm{AB}$及び両円に切する円の半径を求めよ．

【７】　円$O$の半径$\mathrm{OA}$上の一点$\mathrm{B}$に於いて之に垂線を立て円周との交点を$\mathrm{C}$とす，$\mathrm{C}$における切線が$\mathrm{OA}$の延長と交はる点を$\mathrm{D}$とし$\mathrm{CD}=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}$ならしめよ．

【８】　与へられたる三角形に相似なる三角形の一つの頂点は定点にして他の一頂点は之を過らざる定直線上にあり，然るときは第三頂点の軌跡は一つの直線なることを証せよ．