1929　第四高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$S=a_1+a_2+\cdots +a_n\text{，}{S}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a_n}}$を二つの等比級数とすれば$S=a_1{a}_n{S}^{\prime }$なることを証せよ．

【２】　矩形の一つの対角線の両端より一双の平行線を引きて一双の対辺と交らしめ与へられたる正方形に等しき面積を有する平行四辺形を切りとれ．

【３】　$x$が$x^2+x-1=0$の根なるとき$x^3+2x^2+x+1$の値を計算せよ．

【４】　$\mathrm{A}$に於て内接する二つの円あり，外円周上の一点$\mathrm{B}$より内円に切線を引き$\mathrm{C}$に於て内円に切し$\mathrm{D}$に於て外円に交らしむれば$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}$なることを証せよ．

【５】　${\displaystyle \frac{b}{a(a+b)}}+{\displaystyle \frac{c}{(a+b)(a+b+c)}}+{\displaystyle \frac{d}{(a+b+c)(a+b+c+d)}}$を簡単にせよ．

【６】　円周上の一点を同時に出発して反対の方向に各々一様の速さにて運動する二点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$あり．$\mathrm{A}$は$1$分$40$秒にて一周し$\mathrm{B}$は$\mathrm{A}$に会してより$1$分$30$秒にて一周し終れりと云ふ，$\mathrm{B}$は毎秒幾度の弧を通過するか．

【７】　次の連立方程式を解け．

$ax=by=cz=du$

${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}+{\displaystyle \frac{1}{u}}={\displaystyle \frac{1}{m}}$

【８】　一辺の長さ$a$なる正三角形$\mathrm{ABC}$の二辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$の中点を結びつくる線分上の任意の点を$\mathrm{D}$とし直線$\mathrm{BD}$の延長と辺$\mathrm{AC}$との交点及び$\mathrm{CD}$の延長と$\mathrm{AB}$との交点を夫々$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とし$\mathrm{CE}=x\text{，}\mathrm{BF}=y$とすれば${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}$の値を求む．

【１】　次の連立方程式を解け．

$x(x+y+z)=12\text{，}(2y+z)(x+y+z)=30$

$(y+2z)(x+y+z)=42$

【２】　梯形$\mathrm{ABCD}$に於て$\mathrm{AB}⫽\mathrm{CD}$にして$\mathrm{AB}+\mathrm{CD}=\mathrm{BC}$なるときは$\angle \mathrm{ABC}$及び$\angle \mathrm{BCD}$の二等分線は$\mathrm{AD}$上に交はることを証せよ．

【３】　$5$にて割り切るる三桁の整数あり，其の数字の和は$20$にして其の数と数字を逆の順序に並べたる数との差は$198$なりと云ふ，其の数を求む．

【４】　二つの等円あり，一つの円の中心は他の円の周上にあるとき二円に共通なる部分の面積を求む．

【５】　$x^3-(2p+1)x+2p=0$なる方程式の三根の内二根が相等しきとき$p$の値如何．

【６】　$\mathrm{M}$を一つの円周上の任意の一点とし$\mathrm{M}$より円周上二点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$に於ける切線へ垂線$\mathrm{ME}\text{，}\mathrm{MF}$を引き$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{MG}$を引かば${\mathrm{MG}}^2=\mathrm{ME}\cdot \mathrm{MF}$なり．

【７】　奇数項の等差級数あり，其の奇数番目の項の和は$44$にして偶数番目の項の和は$33$なりと云ふ，項数如何．

【８】　直角三角形あり，其の面積の$4$倍は斜辺上の正方形の面積よりも$1$平方米小にして其の周は面積$9$平方米なる正方形の周に等しといふ，三角形の三辺の長さ如何．