1929　第五高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　次の二次方程式は双方共に実根を有するか又は双方共に虚根を有するかなり．之を証明せよ．

$x^2+px+q=0$

$(x^2+q)(4q+3p^2)+p(p^2+12q)x=0$

【２】　次の式を簡単にして小数第三位まで計算せよ．

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{12+2\sqrt{35}}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{12-2\sqrt{35}}}}$

【３】　甲乙両人初日に同額の金を得，二日目よりは毎日甲は前日に得たる金より三円づつ多く乙は八円づつ多く得て若干日の後甲乙両人の総所得金合せて四百二十円となりたり且つ甲の得たる総額は乙の得たる総額の半分なりしと云ふ．甲乙の初日に得たる金は一人如何程なりしか．

【４】　$▵\mathrm{ABC}$の三辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$上に夫々三点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$をとり，

${\displaystyle \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{CA}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AB}}}=x$

とす．$▵\mathrm{DEF}$の面積の$▵\mathrm{ABC}$の面積に対する比を計算し且つ其結果を用ひて$▵\mathrm{DEF}$の面積は$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$が三辺の中点となるとき最小となることを証明せよ．

【５】　$▵\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$に$\mathrm{A}$より下ろしたる垂線$\mathrm{AD}$を直径とする円が$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$と交る点を夫々$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とす．$\mathrm{AD}$が直線$\mathrm{EF}$及び$▵\mathrm{ABC}$の外接円と交る点を夫々$\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$とすれば$\mathrm{AD}$は$\mathrm{AG}\text{，}\mathrm{AH}$の比例中項となる．之を証明せよ．

【６】　円$O$と与へられたる弦を$\mathrm{AB}$とす．弦$\mathrm{AB}$と一つの弧$\mathrm{AB}$とに切する円の二つの切点を結ぶ直線は他の弧$\mathrm{AB}$の中点を過ることを証明せよ．