1929　第六高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$a\text{，}b$が実数にして，$a^2+b^2=a^2{b}^2$且つ$ab+2<0$なるとき次ぎの等式は真なりや．

${\displaystyle \frac{{(a\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}}+b\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{b^2}}})}^2}{ab(ab+2)}}={({\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}})}^2$

【２】　$a>b\text{，}p>0\text{，}q>0$なるとき次ぎの方程式の根の虚実を吟味せよ：

${\displaystyle \frac{p}{x+a}}+{\displaystyle \frac{q}{x+b}}=1$

【３】　$x=10\text{，}n=10$なるとき次ぎの式の値を計算せよ：

$(x^2-1)({\displaystyle \frac{1}{x^2}}+1)+(x^3-1)({\displaystyle \frac{1}{x^3}}+1)+\cdots +(x^n-1)({\displaystyle \frac{1}{x^n}}+1)$

【４】　与へられたる三角形の頂点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とするとき面積につきて，

(ⅰ)　$▵\mathrm{PAB}=▵\mathrm{PCA}$なる如き点$\mathrm{P}$の軌跡と，

(ⅱ)　$▵\mathrm{PAB}=▵\mathrm{PBC}=▵\mathrm{PCA}$なる如き点$\mathrm{P}$の位置

とを求めよ．但し(ⅱ)に対しては其の証明を記すに及ばず．

【５】　三辺の長さが$a\text{，}b\text{，}c$なる三角形の面積を求めよ．

【６】　一直線上に順に列べる三点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と，$\mathrm{B}$を通りて此の直線に垂直なる直線$\mathrm{XY}$と，$\mathrm{O}$を中心とし$\mathrm{A}$を通る円周とあり．線分$\mathrm{AB}$上の而も$\mathrm{AB}$間の任意の点$\mathrm{P}$より，$\mathrm{A}$以外の二点にて円周と交はる任意の直線を引き，円周との二交点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$と命じ$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PR}$間に在りとし，$\mathrm{Q}$及び$\mathrm{R}$に於て円に切線を引き直線$\mathrm{XY}$との交点を夫々$\mathrm{X}$及び$\mathrm{Y}$とするときは，線分$\mathrm{QX}$と線分$\mathrm{RY}$と孰れが大なるか．