1929　第七高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$x^{2}y+x{y}^2=30\text{，}{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$を解け．

【２】　${\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{3x}}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3x}}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{3x}}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3x}}}}$を解け．

（編注）資料n-44005854では左辺の$x$が$c$になっている．

【３】　$x$を未知数とする方程式${\displaystyle \frac{2A}{x+a}}+{\displaystyle \frac{k}{x}}+{\displaystyle \frac{2B}{x-a}}=0$が等根を有する如き$k$の値は一般に二つあることを示し，且つ其の二つの値を$k_1\text{，}{k}_2$とするときは$k_1{k}_2={(A-B)}^2$なることを証せよ．

【４】　$a$立の酒精を入れたる甲樽と之と等量の水を入れたる乙樽とあり．先づ甲乙両樽より等量をくみ出し之を夫々乙樽甲樽に入れ次に又甲乙両樽より前と同じ量をくみ出し之を夫々乙樽甲樽に入る．此時乙樽に含まるる酒精の量が最大なるためにはくみ出すべき量を如何に定むべきか．

(編注)　冒頭の$a$立，は立方米の誤植か？

【５】　$\mathrm{C}$を直角頂とする直角三角形$\mathrm{ABC}$あり．今辺$\mathrm{AC}$の上に$\mathrm{ABC}$と相似なる三角形$\mathrm{ACD}$を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が夫々$A\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に対応する様に作り，次に辺$\mathrm{AD}$の上に同じく$\mathrm{ACD}$と相似なる三角形$\mathrm{ADE}$を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$が夫々$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$に対応する様に作る．順次斯くの如くにして無数に多く作れる三角形の面積の総和を求めよ．但し辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の長さを夫々$a\text{，}b\text{，}c$として計算せよ．

【６】　$\mathrm{O}$を三角形$\mathrm{ABC}$の内心とし，円$\mathrm{OBC}$が$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$と交はる点を夫々$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$とすれば$\mathrm{BD}=\mathrm{CE}=\mathrm{AB}\sim \mathrm{AC}$なり．之を証せよ．

【７】　$\mathrm{ABC}\text{，}\mathrm{DEF}$を二つの与へられたる三角形とす．$\mathrm{ABC}$と相似にして且つ$\mathrm{DEF}$と等積なる三角形を画け．

【８】　二定点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$より動直線$\mathrm{XY}$に至る距離を夫々$x$糎，$y$糎とし，$\mathrm{XY}$に関する$\mathrm{B}$の対称点を$\mathrm{C}$とするとき，若しも積$xy$が一定ならば線分$\mathrm{AC}$は定長なり．之を証せよ．