1929　松江高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}$なるときは

${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a^3}{b}}+{\displaystyle \frac{b^3}{a}}}{{\displaystyle \frac{c^3}{d}}+{\displaystyle \frac{d^3}{c}}}}={\displaystyle \frac{ab}{cd}}$

なることを証明せよ．

【２】　二次方程式$x^2-px+q=0$の二根を$\alpha \text{，}\beta$とするとき${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}+{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$及び${\alpha }^3+{\beta }^3$を二根とする二次方程式を作れ．

【３】　次の連立方程式を解け．

$x^2+xy+x=14\text{，}$

$y^2+xy+y=28\text{．}$

【４】　$350$円を$4$人に分配せしに其等の所得は等比級数をなし其最も多きものと最も少なきものとの差と他の二人の所得の差との比は$37:12$に等しと云ふ各の所得金如何．

【５】　甲乙二旅人あり甲は東地より乙は西地より同時に相向て出発し甲が乙より$30$里だけ多く歩みたるとき両人出合ひたり其後甲は$4$日にして西地に達し乙は$9$日にして東地に達せりと云ふ東西両地の距離如何．

【６】　三角形$\mathrm{ABC}$に於て$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{D}$とし$\mathrm{BC}$上の一点を$\mathrm{E}$とし$\mathrm{EC}=2\mathrm{BE}$なるときは$\mathrm{AE}$は$\mathrm{BD}$を二等分すること及び$\mathrm{BD}$と$\mathrm{AE}$との交点を$\mathrm{O}$とせば$\mathrm{AO}=3\mathrm{OE}$なることを証明せよ．

【７】　円の中心$\mathrm{O}$より直線$\mathrm{XY}$に引ける垂線の足$\mathrm{A}$を過りて割線を引き円周との交点を$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とせよ$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に於ける此円の切線が直線$\mathrm{XY}$と交る二点は$\mathrm{A}$より等距離にあることを証明せよ．

【８】　円に内接する四辺形の相対する辺の包む矩形の和は対角線の包む矩形に等しきことを証明せよ．