1930　第六高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$b^2=(\sqrt{13}+2+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{13}}})ac$なるとき${\displaystyle \frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{b+\sqrt{b^2-4ac}}}$の値を小数第二位まで求めよ．

　但し，$a\text{，}b\text{，}c$は$0$ならざる実数なりとす．

【２】　${\displaystyle \frac{1}{bc}}+{\displaystyle \frac{1}{ca}}+{\displaystyle \frac{1}{ab}}={\displaystyle \frac{1}{bc+ca+ab}}>0$なるときは，

$(x-a)(x-b)(x-c)$

は$x$に$a+b+c$ならざる如何なる実数値を代入するも$0$とならざることを証明せよ．

【３】　係数が何れも$0$ならざる二次方程式の二根$\alpha \text{，}\beta$の間に

${\alpha }^4{\beta }^2+2{\alpha }^3{\beta }^3+{\alpha }^2{\beta }^4-2{\alpha }^2{\beta }^2+{\alpha }^2+2\alpha \beta +{\beta }^2=0$

なる関係あるとき，此の二次方程式の係数の平方の逆数は如何なる級数をなすか．

【４】　半径$r$なる円に内接する高さ$h$なる二等辺三角形あり．其の底辺に平行なる円の弦が此の三角形の二辺にて三等分せらるるとき，此の弦の長さを求めよ．

【５】　中心$\mathrm{O}$なる円の任意の弦$\mathrm{AD}$上に任意の二点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$をとり，是等を$\mathrm{O}$に結ぶとき線分

$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{OR}\text{，}\mathrm{OC}$

の間に存する関係をただ一つの等式にて表せ．

【６】　一定円の外部に二定点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$あり．此の円の周上を弦$\mathrm{PQ}$の長さが一定なるやうに動く二点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$あり．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が如何なる位置に来るとき

${\overline{\mathrm{AP}}}^2+{\overline{\mathrm{AQ}}}^2+{\overline{\mathrm{BP}}}^2+{\overline{\mathrm{BQ}}}^2$

は最小或は最大になるか．