1930　浦和高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$x\text{，}y\text{，}z$は方程式$x+3y-2z=0$及び$2x^2-3y^2+z^2=0$を満足する正整数にして其最小公倍数は$300$なりといふ．$x\text{，}y\text{，}z$の値を求めよ．

【２】　二次方程式$x^2+px+q=0$の二根が共に実数なるとき，$p+2<0\text{，}p+q+1>0$ならば二根は共に$1$より大なり，之を証明せよ．

【３】　初項$a$なる無限等比級数に於て，始めの三項の平方の和を始めの三項の和にて割りたる商が最小なる様に公比を選びたるものとす．然る時此無限等比級数の総和を求めよ．但$a>0$とす．

【４】　甲，乙二つの正整数あり．其中の甲は二位の正整数なりとす．或人此二数を掛け合せたるに，甲数の一位の数字と十位の数字を誤りて交換して書きたる為真の値より$5724$だけ少き値を得たり．次に甲数の数字の和と乙数を掛け合せたるに此度は$3180$なる正しき値を得たり．然らば甲，乙二数の積の真の値如何．

【１】　中心$\mathrm{O}$なる円の直径$\mathrm{AOC}$上にありて$\mathrm{O}$と$\mathrm{C}$との間にある点を$\mathrm{B}$とす．$\mathrm{B}$を過り弦$\mathrm{EBD}$を引きたる時弧$\mathrm{AD}$を弧$\mathrm{CE}$の何倍にすれば$\angle \mathrm{BEO}$は$\angle \mathrm{BOE}$の$n$倍になるか．但し$n$は正の実数とす．

【２】　定直線$\mathrm{XY}$と此上にあらざる定点$\mathrm{O}$あり．或図形上の任意の点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{OP}$又は其$\mathrm{P}$の方の延長上に点$\mathrm{Q}$をとり，$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OQ}$の包む矩形の面積を一定ならしめたる時，$\mathrm{Q}$の軌跡が丁度直線$\mathrm{XY}$になりたりといふ．始めの図形は如何なる位置にある如何なる図形なるか．