1930　大阪高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$の頂角$\mathrm{A}$の二等分線と底$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすれば${\overline{\mathrm{AD}}}^2=\mathrm{AB}.\mathrm{AC}-\mathrm{DB}.\mathrm{DC}$なることを証せよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$上に夫々点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をとり四点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{C}$を順次に結ぶとき$\mathrm{BQ}+\mathrm{QP}+\mathrm{PC}$を最小ならしむる如き二点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を求めよ．

【３】　梯形$\mathrm{ABCD}$の底$\mathrm{BC}$に平行にして其面積を二等分する直線が辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}$と交はる点を$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とせば${\overline{\mathrm{AD}}}^2+{\overline{\mathrm{BC}}}^2=2{\overline{\mathrm{EF}}}^2$なることを証せよ．

【４】　$▵\mathrm{ABC}$に於て$\angle \mathrm{A}=60\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{B}=75\mathrm{°}\text{，}\mathrm{AB}=a$なるとき此三角形の内切円の半径幾何．

【５】　二つの整式$x^3+A{x}^2+Bx+1\text{，}{x}^3+B{x}^2+Ax+1$の最大公約数が$x$の一次式なるときは$A$と$B$との間に如何なる関係があるか．

【６】　$x\text{，}y$は共に正の数にして${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}=1$なるとき$x+y$は$4$より小なることなし．之を証せよ．

【７】　方程式$2x^2+px+q=0\text{，}$の一つの根は$\sqrt{{\displaystyle \frac{2-\sqrt{3}}{2}}}$に等しくして$p\text{，}q$は共に有理数なり．$p$及$q$を求めよ．

【８】　甲地より乙地に至る電車にて$35$分を要し同じ道路を自動車にて$20$分を要す．或人電車にて甲地を発し正午乙地に到着する予定なりしに途中停電したるを以て下車して自動車を待ち之に乗り予定より五分早く乙地に到着せり．此人停電したる時より自動車に乗るまでに四分を要したりと云ふ．停電したる時刻を問ふ．