1931　第三高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$-200$より$300$までの間にある整数のうち，$7$にて割るとき剰余が$1$となる整数の総和を求めよ．

【２】　方程式${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2+x}-\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{x}}$を解け．

【３】　二次方程式$a{x}^2+bx+c=0$の係数の間に$ac{(m+n)}^2=mn{b}^2$なる関係あるとき二根の比は$m:n$なることを証明せよ．

【４】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は正数にして，且つ

$a^4+b^4+c^4=4abcd$

なるときは$a=b=c=d$なることを証明せよ．

【５】　一の位と小数第一位との二桁より成る帯小数あり．この数と数字の位置を交換して得る数との和は$11$にして，各位の数字の平方の差は$20$なりと云ふ．原の数を求めよ．

【１】　一点$\mathrm{P}$を過ぎる三つの等円が二つづつ互いに他の点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に於て交るとき，円$\mathrm{ABC}$はもとの円と相等しきことを証明せよ．

【２】　辺$\mathrm{AB}$が辺$\mathrm{AC}$より大なる三角形$\mathrm{ABC}$に於て，角$\mathrm{A}$の二等分線へ頂点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$より下ろしたる垂線の足を夫々$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とするとき，角$\mathrm{A}$の外角の二等分線と$\mathrm{BQ}$及び$\mathrm{PC}$の延長とは一点に於て交ることを証明せよ．

【３】　正方形$\mathrm{ABCD}$の相隣れる二辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$に対して相等しき角を張る点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．