1931　第七高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　一辺の長さ$a$なる正方形$\mathrm{ABCD}$を，$\mathrm{A}$を中心とし$a$を半径とする四分円弧にて二部分に分つ．此二部分の各に内切する円の半径を求めよ．

【２】　$x=y+3=z-1$を満足する$x\text{，}y\text{，}z$の値にして$x^2+y^2+z^2$の値を最小ならしむるものを求めよ．

【３】　連立方程式$2(x+y)-\sqrt{x+y}=3\text{，}16x^2{y}^2+2xy=5$を解け．

【４】　某高等学校に於ける本年度の入学志願者数を昨年度に比較したるに理科に於ては$5\mathrm{\%}$の減少文科に於ては$20\mathrm{\%}$の増加にして全数に於ては${\displaystyle \frac{10}{3}}\mathrm{\%}$の増加なりといふ．本年度に於ける理科志願者数の文科志願者数に対する比を求めよ．

【５】　初項$a$公比$r$なる等比級数の初めの$n$項の和を与ふる公式を作り出し之によりて次の等式を証明せよ．

$x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}{y}^2+\cdots +y^{n-1})$

【６】　三角形$\mathrm{ABC}$に於て角$\mathrm{A}$が角$\mathrm{B}$の二倍なるとき頂点$\mathrm{C}$より角$\mathrm{A}$の二等分線に下せる垂線は三角形の外心を通ることを証明せよ．

【７】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上の任意の一点$\mathrm{D}$より$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$に平行なる直線$\mathrm{DE}\text{，}\mathrm{DF}$を引き$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{AB}$と夫々$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$に於て交らしむるとき$▵\mathrm{AFE}$の面積は$▵\mathrm{FBD}$の面積と$▵\mathrm{EDC}$の面積との比例中項なり．之を証明せよ．

【８】　相交る二直線$\mathrm{OX}\text{，}\mathrm{OY}$及び一点$\mathrm{P}$を与ふ．直線$\mathrm{OX}$上に点$\mathrm{Q}$を求め線分$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{Q}$より$\mathrm{OY}$に下せる垂線とを等長ならしめよ．