1931　浦和高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{b}{c}}={\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{d}{a}}$なる時${\displaystyle \frac{a-2b+3c-4d}{a+2b+3c+4d}}$の値を求めよ．但し$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数とす．

【２】　二次方程式$a{x}^2+bx+c=0$の二根を$\alpha \text{，}\beta$とする時，$x^2+(\alpha +1)x+{\beta }^2=0$と$x^2+(\beta +1)x+{\alpha }^2=0$が唯一つの共通根を有すれば$a\text{，}b\text{，}c$の間に如何なる関係あるか．

【３】　$4x^2+2px+(q^2-18)$と$2x^2+2qx+(p^2-2)$の和及び差が共に完全平方式なるやうに$p\text{，}q$の値を決定せよ．

【４】　東西に一直線をなせる海岸上の一地点$\mathrm{A}$より正南$5$哩の海中$\mathrm{B}$点にある舟中に人あり．此人$\mathrm{A}$の正東$12$哩なる点$\mathrm{C}$に舟にて一直線に行けば$6$時間半を要し，先づ舟にて$\mathrm{A}$に来りそれより徒歩にて$\mathrm{C}$に行くも$6$時間半を要するといふ．$\mathrm{B}$より$\mathrm{C}$に$6$時間にて達せんには如何なる地点に上陸すべきか．

【１】　等脚梯形$\mathrm{ABCD}$は平行せざる二辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}$の長さ及び対角線$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BD}$の長さが夫々一定なりとの条件の下に種々に形を変じ得るものとす．辺$\mathrm{AB}$上に固定せる点$\mathrm{P}$を通り底に平行なる直線$\mathrm{PMN}$を引き$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BD}$との交点を夫々$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とすれば$\mathrm{PM}\text{，}\mathrm{PN}$の包む矩形の面積は常に一定なることを証明せよ．

【２】　相交る二定直線${\mathrm{X}}^{\prime }\mathrm{OX}\text{，}{\mathrm{Y}}^{\prime }\mathrm{OY}$に下せる垂線の長さの和が一定の長さ$l$より小なる如き点と大なる如き点は二直線を対角線とせる一定の矩形の内と外に夫々存在することを証明せよ．