1931　新潟高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　方程式$a{x}^2+bx+c=0$の二根を$\alpha \text{，}\beta$とし，$\alpha :\beta =m:n$なる時，${\displaystyle \frac{{(m+n)}^2}{mn}}$を$a\text{，}b\text{，}c$にて表せ．但$c\ne 0$とす．

【２】　次の連立方程式を満足すべき$x$の値を求めよ．

$x+y+z=a$

${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}={\displaystyle \frac{1}{a}}$

$yz+zx+xy=-c^2$

【３】　${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{12-\sqrt{140}}}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{8-\sqrt{60}}}}-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{10+\sqrt{84}}}}$を簡単にせよ．

【４】　東西両地間の距離$63$粁なり．今甲は東地を発して西地に向ふに，一時間毎にその速さを$200$米時づつ増加し，乙は甲と同時に西地を発して東地に向ふに，一時間毎にその速さを$400$米時づつ減少す．かくて甲乙両人は何れもその速さが$5$粁時となりたる時間の終りにおいて出合へりといふ．甲乙両人の初速各々如何．

【１】　甲乙二樽中に酒と水との混合液各々$10$立ずつあり．今各樽より$4$立ずつを汲み出して各々他の樽に入れてよく撹拌し，更に各樽より$2$立づつを汲み出して各々他の樽に入れたるに，甲乙二樽中に於ける酒と水との割合は夫々$5:5$及び$4:6$となれりといふ．二樽中に於ける最初の酒と水との割合各々如何．

【２】　二平行線${\mathrm{XX}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{YY}}^{\prime }\text{；}{\mathrm{XX}}^{\prime }$に関し${\mathrm{YY}}^{\prime }$と反対の側にある一点$\mathrm{A}\text{；}{\mathrm{XX}}^{\prime }$上にある一点$\mathrm{B}$が与へられたりとす．$\mathrm{A}$を過り${\mathrm{XX}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{YY}}^{\prime }$と夫々$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$にて交はり且つ$\mathrm{BP}=\mathrm{BQ}$なる如き直線を引け．

【３】　定円$O$の外に定点$\mathrm{P}$あり．$\mathrm{P}$より円$O$に切線を引き其切点を$\mathrm{T}$とし，又$\mathrm{P}$より任意の割線を引き，$\mathrm{O}$より之に垂線を下し其足を$\mathrm{A}$とす．$\mathrm{OA}$の延長上に$\mathrm{OA}.\mathrm{OB}={\mathrm{OT}}^2$なる如き点$\mathrm{B}$をとれば，直線$\mathrm{BT}$は直線$\mathrm{OP}$に垂直なることを証明せよ．

【４】　$1+(a+b)+(a^2+ab+b^2)$$+(a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3)$$+\cdots$$+(a^n+a^{n+1}b+\cdots +a{b}^{n-1}+b^n)$を簡単にせよ．但$a\ne 0\text{，}b\ne 0$とす．

【１】　方程式$\sqrt{16-7x-x^2}=x^2+7x-{\displaystyle \frac{1}{4}}$を解け．

【２】　$a(y+z)=b(z+x)=c(x+y)$なる時，$x:y:z$を求めよ．

【３】　方程式$a(x^2+p^2)+apx+b{p}^2{x}^2=0$の二根を$x_1\text{，}{x}_2$とする時，$a({x_1}^2+{x_2}^2)+a{x}_1{x}_2+b{x_1}^2{x_2}^2$の値を求めよ．

【４】　右図の如く$\mathrm{E}$に於て相切する二円$O\text{，}{O}^{\prime }$あり．

$\mathrm{AB}=9\mathrm{cm}\text{，}\mathrm{CD}=5\mathrm{cm}\text{，}\mathrm{AB}\perp \mathrm{CD}$なり．二円の半径を求めよ．