1931　松江高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　二つの正整数あり，其和は$168$にして其最小公倍数は$1001$なりと云ふ，此二数を問ふ．

【２】　二つの方程式$x^2+px+q=0\text{，}$と$x^2+qx+p=0$とが唯一つの共通根を有するとき，共通ならざる根の和は$-1$に等しきことを証明せよ．

【３】　次の連立方程式を解け．

$x^2+2y^2=3x+16\text{，}2x^2+3y^2=4y+23\text{，}$

$3x^2+4y^2=9x+10y\text{．}$

【４】　$a\text{，}b\text{，}c$が一つの三角形の三辺の長さを表す数なるとき$b^2{x}^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2$なる式の値は$x$の如何なる実数値に対しても恒に正なることを証明せよ．

【５】　$\mathrm{A}$が甲地を出発せし後$2$時間を経て，$\mathrm{B}$は乙地を出発して甲地に向へり$\mathrm{B}$の出発後$2$時$5$分間を経て両人途中にて出遇ひ$\mathrm{A}$が乙地に達せると同時に$\mathrm{B}$は甲地に達せり，両地間を行くに両人の要せし時間各幾何なるか．

【６】　正方形$\mathrm{ABCD}$の$\mathrm{B}$を過りて対角線$\mathrm{AC}$に平行なる直線を引き其上に$\mathrm{E}$点をとり（$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{E}$は直線$\mathrm{AB}$の同じ側にあるものとす）$\mathrm{AE}=\mathrm{AC}$ならしむるときは$\angle \mathrm{CAE}=2.\angle \mathrm{BAE}$なることを証明せよ．

【７】　円外の一点$\mathrm{P}$より切線$\mathrm{PA}$（切点$\mathrm{A}$），$\mathrm{PB}$（切点$\mathrm{B}$）及び割線$\mathrm{PCD}$を引き又$\mathrm{A}$より弦$\mathrm{CD}$に平行なる弦$\mathrm{AE}$を引くときは，直線$\mathrm{EB}$は弦$\mathrm{CD}$を二等分することを証明せよ．

【８】　円に内接する四辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}$が相等しきときは，矩形$\mathrm{AB}.\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$上の正方形との和は$\mathrm{AC}$上の正方形に等しきことを証明せよ．