1931　松山高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}={\displaystyle \frac{1}{a+b+c}}$なるときは${\displaystyle \frac{1}{a^3}}+{\displaystyle \frac{1}{b^3}}+{\displaystyle \frac{1}{c^3}}={\displaystyle \frac{1}{a^3+b^3+c^3}}={({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}})}^3$なることを証せよ．

【２】　方程式${\displaystyle \frac{a^2}{x-p}}+{\displaystyle \frac{b^2}{x}}-1=0$は常に実根を有することを証せよ．但し$a\text{，}b$及び$p$は実数とす．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の二列車同時に$\mathrm{P}$駅を発して$\mathrm{Q}$駅に向ひ之と同時に$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の二列車$\mathrm{Q}$駅を発して$\mathrm{P}$駅に向へり，$\mathrm{A}$は$\mathrm{P}$より$120$粁及び$140$粁の所にて夫々$\mathrm{C}$及び$\mathrm{D}$に会し又$\mathrm{B}$は$\mathrm{Q}$より$126$粁の所にて$\mathrm{C}$に，両駅の中央に於て$\mathrm{D}$に会せりといふ，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$両駅間の距離を求めよ．

【４】　奇数個の数が等差級数をなすときはその初項，中央項，末項は又等差級数をなすことを証せよ．

【５】　一つの三角形の二辺の和と他の一辺との包む三つの矩形の面積の比が$27:32:35$に等しといふ，三辺の長さの比を求めよ．

【６】　四辺形$\mathrm{ABCD}$に於て二辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}$は互いに平行にして且つその和は辺$\mathrm{BC}$に等し，然るときは角$\mathrm{ABC}\text{，}\mathrm{BCD}$の二等分線は辺$\mathrm{AD}$上に於て相交はることを証せよ．

【７】　三つの角が相等しき等辺五角形は正五角形なることを証せよ．

【８】 　円に内接する四辺形に於て其両対角線の包む矩形は二組の対辺の包む矩形の和に等しきことを証せよ．