1931　高知高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　三つの正数$a\text{，}b\text{，}c$の相加平均数は其の相乗平均数より小ならざることを証明せよ．

【２】　二次方程式$x^2+px+q=0$の係数の間に$q^2+(1-3p)q+p^3=0$なる関係あるときは，一根は他根の平方に等しきことを証明せよ．

【３】　父子あり，父は明治年間に生れ，その生れたる年次の数は父子現在の年齢の差に等しく，又今より七年f後の子の年齢に等しといふ．父子の年齢及びその生年を求めよ．

【４】　二つづつ互いに外切する三つの等円が，共に半径$R$なる半円の弧に内切し，その二つが此の半円の直径に切し得るや否やを判明せよ．

【５】　定円$O$の一つの弦$\mathrm{AB}$の両端に於ける切線の交点を$\mathrm{C}$とすれば，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円が円$O$と交はる点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$に於ける内接円の切線は，$O$円周上に於て交ることを証明せよ．

【６】　定点$\mathrm{P}$より直交する二定直線${\mathrm{XX}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{YY}}^{\prime }$に下せる垂線の足を夫々$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とし且つ$\mathrm{PM}:\mathrm{PN}=3:1$なりとす．$\mathrm{PN}$の延長上に$\mathrm{NQ}=2\mathrm{PN}$なる定点$\mathrm{Q}$をとり，$\mathrm{Q}$を通る直線が二定直線と交る点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とするとき，角$\mathrm{APB}$をして直角ならしめよ．