1931　福岡高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$x$に関する二つの整式$x^3-x-a$と$x^2+x-a$とが公約数を有する様に$a$の値を定めよ．

【２】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$二列車あり，$\mathrm{A}$は甲駅を発して乙駅に向ひ，$\mathrm{B}$は同時に乙駅を発して甲駅に向ひ，各一定の速さにて進行し，途中にて出会ひたる時までに，$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$よりも$120$粁だけ多く走れり，而して相会したる時より$\mathrm{A}$は$4$時間後，$\mathrm{B}$は$9$時間後に，各目的地に到著せりと云ふ．甲乙両駅間の距離，及び両列車の速さ毎時各何程なるか．

【３】　初項${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}}\text{，}$公差$\sqrt{2}-1$なる等差級数の初項より第$n$項までの和は，$1$より$n$に到る自然数の和に此公差を乗じたる積に等しきことを証明せよ．

【４】　一点$\mathrm{A}$は毎秒$4$米の速さ，一点$\mathrm{B}$は毎秒$3$米の速さにて夫々互いに直交する二直線上を動きつつあり．今，$\mathrm{A}$は交点を隔る$300$米の位置にありて交点に近づきつつあり，$\mathrm{B}$は交点を隔る$250$米の位置にありて交点より遠ざかりつつあり．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$二点間の距離が$1825$米となるは今より幾秒後なるか．

【５】　二つの円が$\mathrm{A}$にて内切し，外円の弦$\mathrm{CD}$が$\mathrm{B}$にて内円に切し，外円の弦$\mathrm{AC}$及び$\mathrm{AD}$が内円周と交る点を夫々$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とすれば，$\mathrm{AE}:\mathrm{AF}=\mathrm{BC}:\mathrm{BD}$なることを証明せよ．

【６】　与へられたる三角形$\mathrm{ABC}$の三頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を中心として二つづつ互いに切する三つの円を画け．