1931　東京高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$x+y+z=a\text{，}{x}^2+y^2+z^2=b^2\text{，}xyz=c^3$なるとき$x^3+y^3+z^3$を$a\text{，}b\text{，}c$にて表せ．

【２】　方程式$\sqrt{x+1}-\sqrt{1-2x}=1$を解け．

【３】　二つの正の数$\alpha \text{，}\beta$を二根とする二次方程式ありて，$\alpha$と$\beta$との間に${\alpha }^2+{\beta }^2={\displaystyle \frac{25}{36}}\text{，}(1-\alpha )(1-\beta )={\displaystyle \frac{1}{6}}$なる関係あるとき，もとの二次方程式を求めよ．

【４】　一定点$\mathrm{P}$を過る一直線を引き，与へられたる三直線$\mathrm{OX}\text{，}\mathrm{OY}\text{，}\mathrm{OZ}$との交点を夫々$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とし$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$ならしめよ．

【５】　一辺の長さ$a$なる正三角形$\mathrm{ABC}$の三辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$上に夫々点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$を取り${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{FA}}}={\displaystyle \frac{m}{n}}$ならしめ三角形$\mathrm{DEF}$を作り；次に三角形$\mathrm{DEF}$の三辺$\mathrm{DE}\text{，}\mathrm{EF}\text{，}\mathrm{FD}$上に夫々点$\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{K}$を取り${\displaystyle \frac{\mathrm{DG}}{\mathrm{GE}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{EH}}{\mathrm{HF}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{FK}}{\mathrm{KD}}}={\displaystyle \frac{m}{n}}$ならしめ三角形$\mathrm{GHK}$を作り；以下同様なる作図を無限に続け行ふときは之等のすべての三角形（最初の正三角形をも含む）の面積の総和を求めよ．