1956　北海道大学MathJax

【１】　$x=-1$のとき$y=5\text{，}x=0$のとき$0\leqq y\leqq 1\text{，}x=1$のとき$y=1$である．二次関数$y=a{x}^2+bx+c$について，次の問に答えよ．

(1)　$2\leqq a\leqq 3$であることを証明せよ．

(2)　$x=2$のとき$\boxed{}\leqq y\leqq \boxed{}$である．この空欄をうめ，理由を述べよ．

(3)　この二次関数の最小値はどんな範囲の値か．

【２】(1)　$y={\displaystyle \frac{1}{2}}(\sqrt{x+2a\sqrt{x-a^2}}+\sqrt{x-2a\sqrt{x-a^2}})$（ただし$a>0$）を二重根号を含まない形に書けば

$\begin{array}{ll}{a}^2\leqq x\leqq 2a^2& \text{のとき}y=\boxed{\text{(イ)}}\\ 2a^2<x& \text{のとき}y=\boxed{\text{(ロ)}}\end{array}$

である．この空欄をうめ，理由を簡単に書け．

(2)　この関数のグラフをかけ．

【３】　次の空欄をうめよ．

　$0\leqq \theta <360°$と実数$x$に関して，等式

${\displaystyle \frac{1}{2}}+\sin \theta ={\log }_2\sqrt{x^2+2x+9}$

がある．一般に${\displaystyle \frac{1}{2}}+\sin \theta$のとり得る値の範囲は$\boxed{\text{(イ)}}\text{，}{\log }_2\sqrt{x^2+2x+9}$のとり得る値の範囲は$\boxed{\text{(ロ)}}$であるから，上の等式が成立するのは$\theta$の値が$\boxed{\text{(ハ)}}\text{，}x$の値が$\boxed{\text{(ニ)}}$のときである．

【１】　すべての項が正である$2$つの無限等比級数がある．

$\begin{array}{ll}{a}_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots & \text{(A)}\\ {\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}+\cdots }& \text{(B)}\end{array}$

(1)　(A)，(B)の第$n$項までの部分和をそれぞれ$S_n\text{，}{S_n}^{\prime }$とすれば${S_n}^{\prime }={\displaystyle \frac{S_n}{a_1{a}_n}}$であることを証明せよ．

(2)　(A)が収束すれば，${S_n}^{\prime }={\displaystyle \frac{S_n}{a_1{a}_n}}$において$n$が限りなく増大するとき，分子は$\boxed{\text{(イ)}}$に限りなく近づき，分母は，$\boxed{\text{(ロ)}}$に限りなく近づく．したがって${S_n}^{\prime }$は$\boxed{\text{(ハ)}}\text{，}$すなわち(B)は$\boxed{\text{(ニ)}}\text{．}$以上の空欄をうめよ．

【２】　$y=f(x)$のグラフ上の点$\mathrm{A}$の座標を$(a,f(a))\text{，}$またこのグラフ上の$\mathrm{A}$と異なる動点$\mathrm{P}$の座標を$(x_1,f(x_1))$とする．ただしつねに$f^{\prime }(x)>0$とする．

(1)　線分$\mathrm{AP}$の垂直二等分線$l$は$\mathrm{AP}$の中点$\boxed{\text{(い)}}$を通り傾きが$\boxed{\text{(ろ)}}$であるから，$l$をグラフとする一次関数は$y=\boxed{\text{(は)}}$である．空欄をうめよ．

(2)　$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，上の一次関数の極限の形を求めよ．

【３】　$\mathrm{BC}=a\text{，}\mathrm{CA}=b\text{，}\text{角}\mathrm{BCA}=\gamma$である定三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$上にそれぞれ点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{DE}$で三角形の面積を$2$等分するとき，$\mathrm{CD}=x$として次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{CE}$を$x$の式で表せ．

(2)　$\mathrm{E}$が$\mathrm{CA}$上を動くとき，$x$のとり得る範囲を求めよ．

(3)　$a<2b<4a$のとき，$\mathrm{DE}$の最小値を求めよ．

【１】　円に内接する六辺形$\mathrm{ABCDEF}$において，$6$つの内角が互いに等しいとき，$6$つの辺の間に成り立つ必要かつ十分条件を求めよ．

【２】　正三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をとり直線$\mathrm{PQ}$に関して$\mathrm{A}$と同じ側に正三角形$\mathrm{PQR}$を作るとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$10cm$の正方形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}$上に$1$点$\mathrm{P}$をとり角$\mathrm{PAD}$の$2$等分線と辺$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．いま線分$\mathrm{CQ}$の長さを$4cm$としたとき線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

【１】　ダイヤ，ハート，クラブ，スペードの$4$種だけで，各種とも$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{，}$$7\text{，}$$8\text{，}$$9\text{，}$$10$を表わす$10$枚の数札とジャック，クイーン，キングを表わす$3$枚の絵札からできている合計$52$枚の札からなるトランプがある．今絵札はすべて$10$を表わすものとする．このトランプから同時に$4$枚の札をぬき出したとき次の問に答えよ．

(1)　$4$枚の札が表わす$4$数の和が$35$となるとき，$4$数の組を順序よく書き並べよ．

(2)　$4$枚の札が表わす数の和が$35$となる札の組合せの数を求めよ．

(3)　$4$枚の札がことごとく異なる種類でそれらが表わす数の和が$35$となる札の組合せの数を求めよ．

【２】　相加平均（算術平均），相乗平均（幾何平均），調和平均の何れかを用いて次の空欄うめ，その上で(1)，(2)，(3)を，文字はすべて正の数を表わすものとして，証明せよ．但し$n$個の正の数の調和平均とは，それらの数の逆数の相加平均の逆数をいう．

(1)　$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$の$\text{(イ)}$の対数は$\log x_1\text{，}$$\log x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$\log x_n$の$\text{(ロ)}$である．

(2)　$a_k=x_k{a}_{k-1}$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{），}$$a_n=r^n{a}_0$であるならば$r$は$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$の$\text{(ハ)}$である．

(3)　$x_k={\displaystyle \frac{b_k}{a_k}}$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{），}$$M={\displaystyle \frac{b_1+b_2+\cdots +b_n}{a_1+a_2+\cdots +a_n}}$であるとき，$a_k$がすべて同じ値ならば$M$は$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$の$\text{(ニ)}$であり，$b_k$がすべて同じ値ならば$M$は$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$の調和平均である．

【３】　順次に$15$分おきに$\mathrm{A}$地を出発する$3$台のバスが$\mathrm{A}$地を出発してから$18$分かかって$\mathrm{B}$地に到着し，$4$分$30$秒休んだ後に$\mathrm{B}$地を出発して同じく$18$分かかって$\mathrm{A}$地に戻り，ここでも$4$分$30$秒休んだ後再び$\mathrm{B}$地へ向かう．このように$3$台のバスが$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$地間を運行している．（但しバスは常に一定の速さで走るものとする．）

(1)　始発の車が$\mathrm{A}$地を出発してから$60$分間のこの$3$台のバスの運行図表（ダイヤグラム）を書け．

(2)　ある地点$\mathrm{C}$では$\mathrm{A}$地行きのバスが通過してから，そのバスの次に$\mathrm{A}$地を出発したバスが$\mathrm{B}$地に向かって$2$分$30$秒後に通過するという．$\mathrm{A}$地より$\mathrm{C}$地までバスで何分かかるか．

理類，水産類，医学進学課程は解析I，解析II，幾何より２科目選択．文類は一般数学を含めた４科目から２科目選択．