1957　東京大学　1次試験MathJax

【１】　次の$\boxed{}$の中に適当な数を記入せよ．

　$2$点$\mathrm{A}(\boxed{\text{(1)}},\boxed{\text{(2)}})\text{，}\mathrm{B}(-1,3)$を結ぶ線分の垂直$2$等分線の方程式は

${\displaystyle \frac{x}{\boxed{\text{(3)}}}}-{\displaystyle \frac{y}{\boxed{\text{(4)}}}}=1$

である．また，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$から等距離にある$x$軸上の点は$(3,0)$であり，$y$軸上の点は$(0,-6)$である．

【２】　次の$\boxed{}$の中に適当な数を記入せよ．

　$x=3$のとき最大値$m$をとる$x$の二次関数

$y=a{x}^2+bx+{\displaystyle \frac{1}{4a}}$

の$x=1$のときの値が$-2$であるとする．このとき，$a\text{，}b\text{，}m$の値はそれぞれ

$a=\boxed{\text{(5)}}\text{，}b=\boxed{\text{(6)}}\text{，}m=\boxed{\text{(7)}}$

である．

【３】　次の$\boxed{}$の中に適当な正の数を記入せよ．

　三次方程式

$x^3-\boxed{\text{(8)}}{x}^2+25x-26=0$

の$3$つの根は

$2\text{，}\boxed{\text{(9)}}+\boxed{\text{(10)}}i\text{，}\boxed{\text{(11)}}-\boxed{\text{(12)}}i$

である．ただし，$i=\sqrt{-1}$．

【４】　次の$\boxed{}$の中に適当な数を記入せよ．

　$a$を任意の定数とするとき，円

$(x^2+y^2-25)+a(2x-y-10)=0$

は$2$つの定点$(\boxed{\text{(13)}},\boxed{\text{(14)}})\text{，}(5,\boxed{\text{(15)}})$を通り，その中心はつねに直線$x+\boxed{\text{(16)}}y=\boxed{\text{(17)}}$の上にある．

【５】　次の不等式を満足する整数$n$の値を求め，それぞれ答案用紙の数字のわくの(18)，(19)，(20)の解答欄（省略）に記入せよ．

(18)　$2^n<{30}^{20}<2^{n+1}$

(19)　${\cos }^{n}30\mathrm{°}>{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{30}>{\cos }^{n+1}30\mathrm{°}$

(20)　${\log }_{2^{n+1}}15<{\log }_{10}3<{\log }_{2^n}15$

　ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　次の$\boxed{}$の中に適当な数を記入せよ．

　$2$点$\mathrm{A}(\boxed{\text{(1)}},\boxed{\text{(2)}})\text{，}\mathrm{B}(4,1)$の距離は$5$で，直線$\mathrm{AB}$の勾配（傾き）は$-{\displaystyle \frac{3}{4}}$である．また，$▵\mathrm{OAB}$の面積は$\boxed{\text{(3)}}$である．ただし，$\mathrm{O}$は座標系の原点であって，$▵\mathrm{OAB}$は鈍角三角形である．

【２】　次の$\boxed{}$の中に適当な数を記入せよ．

　関数$y=f(x)=A{x}^3+B{x}^2+Cx+D$において，

$\begin{array}{l}f(0)=y_0\\ & y_1-y_0=z_0\\ f(1)=y_1& & z_1-z_0=u_0\\ & y_2-y_1=z_1& & u_1-u_0=v_0\\ f(2)=y_2& & z_2-z_1=u_1\\ & y_3-y_2=z_2\\ f(3)=y_3\end{array}$

とおく．$y_0=0\text{，}{z}_0=3\text{，}{u}_0=-2\text{，}{v}_0=12$のとき，

$A=\boxed{\text{(4)}}\text{，}B=\boxed{\text{(5)}}\text{，}C=\boxed{\text{(6)}}\text{，}D=\boxed{\text{(7)}}$

である．

【３】　つぎの$\boxed{}$の中に適当な数を記入せよ．

　$t$があらゆる実数値にわたって変動するとき

$x=2t^2-4t+5\text{，}y=3t^2+at+7$（$a$は定数）

を座標にもつ点$(x,y)$は，定直線

$Ax+By=1$

の上にあるものとする．このとき，$a\text{，}A\text{，}B$の値はそれぞれ

$a=\boxed{\text{(8)}}\text{，}A=\boxed{\text{(9)}}\text{，}B=\boxed{\text{(10)}}$

である．そして，点$\mathrm{P}$から原点までの距離が最小値をとるのは

$t=\boxed{\text{(11)}}$

のときであって，その最小値は$\boxed{\text{(12)}}$である．

【４】　次の各図形の面積を大きさの順に並べ，不等式

$\boxed{\text{(13)}}<\boxed{\text{(14)}}<\boxed{\text{(15)}}<\boxed{\text{(16)}}$

が成り立つようにするには，$\boxed{}$の中にそれぞれどれを入れればよいか．

イ　原点を中心とし半径$6$の円の内部と，点$(0,12)$を中心とし半径$6\sqrt{3}$の円の内部との共通部分．

ロ　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2}{8}}=1$の内部．

ハ　放物線$12y=x^2$と直線$x-12y+72=0$とが囲む図形．

ニ　四点$(5\cos 0\mathrm{°},5\sin 0\mathrm{°})\text{，}(5\cos 60\mathrm{°},5\sin 60\mathrm{°})\text{，}(5\cos 180\mathrm{°},5\sin 180\mathrm{°})\text{，}(5\cos (-60)\mathrm{°},5\sin (-60)\mathrm{°})$を頂点とする四辺形の内部．

　ただし，円周率$\pi =3.14\text{，}\sqrt{3}=1.73\text{，}\sqrt{2}=1.41$とする．

【５】　次の$\boxed{}$の中に適当な数を記入せよ．もし，適当な数がないときはイと記入せよ．

$\theta$の関数${\sin }^2\theta \mathrm{°}$の正の最小周期は$\boxed{\text{(17)}}\mathrm{°}$

$\theta$の関数$\cos ({\displaystyle \frac{\theta }{2}}+30)\mathrm{°}$の正の最小周期は$\boxed{\text{(18)}}\mathrm{°}$

$\theta$の関数$\sin \theta \mathrm{°}\cos \theta \mathrm{°}$の正の最小周期は$\boxed{\text{(19)}}\mathrm{°}$

$\theta$の関数${\displaystyle \frac{1}{1+\tan 3\theta \mathrm{°}}}$の正の最小周期は$\boxed{\text{(20)}}\mathrm{°}$

である．