1957　東京大学　2次試験MathJax

【１】　$\mathrm{ABCD}$を$1$辺の長さが$1$の正方形とする．頂点$\mathrm{A}$より発した光が辺$\mathrm{BC}$にあたって反射し，以下次々に正方形の辺にあたって反射するものとする．最初，辺$\mathrm{BC}$にあたる点を${\mathrm{P}}_1$とし，以下次々に辺にあたる点を${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$とする．

　$\mathrm{B}{\mathrm{P}}_1=t$とおき，${\mathrm{P}}_3$から辺$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{AB}$に至る距離をそれぞれ$x\text{，}y$とするとき，$x+y$を$t$の関数とみなして，そのグラフをえがけ．ただし，光が正方形の頂点にあたる場合は除外する．

【２】　原点を通る直線が，$3$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)\text{，}\mathrm{C}({\displaystyle \frac{3}{2}},0)$を頂点とする三角形を，面積の等しい$2$つの部分に分けるとき，その直線の勾配（傾き）を求めよ．

【３】　不等式

$(x^2-y^2)\{{\log }_2(9-x^2-y^2)-3\}>0$

を満足する$x\text{，}y$を座標とする点$\mathrm{P}(x,y)$の存在する範囲を図示せよ．

【１】　時刻$t$における$2$点$\mathrm{P}(x,y)\text{，}{\mathrm{P}}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$の座標が

$\{\begin{array}{c}x=t\\ y=20t-4t^2\end{array}\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=5-t\\ y^{\prime }=h\end{array}$（$h$は正の定数）

という関係式によって与えられているとき，この$2$点間の距離が最小となる時刻を求めよ．

【２】　水を満たした半径$r$の球状の容器の最下端に小さな穴をあける．水が流れ始めた時刻を$0$として時刻$0$から時刻$t$までに，この穴を通って流出した水の量を$f(t)\text{，}$時刻$t$における穴から水面までの高さを$y$としたとき，$f(t)$の導関数$f^{\prime }(t)$と$y$との間に

$f^{\prime }(t)=\alpha \sqrt{y}$（$\alpha$は正の定数）

という関係があると仮定する（ただし，水面はつねに水平に保たれているものとする）．水面の降下する速さが最小となるのは，$y$がどのような値をとるときであるか，また水が流れ始めてからこのときまでに要する時間を求めよ．

【３】　右の図のように碁盤の目の形に並んでいる$20$個の点から，同一直線上にない$3$個の点を選んで，それらを頂点とする三角形を作る．全部でいくつの三角形ができるか．

【１】　$▵\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{BAM}+\angle \mathrm{ACB}$が直角であるとき，$▵\mathrm{ABC}$はどのような形であるか．

【２】　頂点がそれぞれ$45\mathrm{°}\text{，}60\mathrm{°}\text{，}75\mathrm{°}$で外接円の半径が$r$であるような三角形の面積を求めよ．

【３】　円

$x^2+y^2=1$

と定点$(a,b)$がある．この円周上の動点$\mathrm{Q}$における接線上に点$\mathrm{P}$をとり，

$\mathrm{AP}=2\mathrm{PQ}$

ならしめるとき，点$\mathrm{P}$の軌跡はいかなる図形であるか．また，とくに$a=3\text{，}b=-2$の場合を図示せよ．

　解析I，解析II，幾何，一般数学の4科目から2科目選択．一般数学の問題は未入手．