1958　北海道大学MathJax

【１】

(1)　${\log }_{\frac{1}{2}}(\sqrt{7+\sqrt{40}}-\sqrt{7-\sqrt{40}})$の値を求めよ．

【１】

(2)　$4x^2+5x+k=0$の根が$\sin A\text{，}\cos A$であるとき$k$の値を求め，さらに$\tan A\text{，}\cot A$を根とする二次方程式を求めよ．

【２】(1)　${\log }_{2}7=2+{\displaystyle \frac{1}{a}}$は$2=x^a$の形に直しうる．このときの$x$の数値を求めよ．

(2)　(1)より$x^n<2<x^m$であるから$a$の整数部分を$b$とすると$b=\boxed{}$である．$n\text{，}m$を整数で決定し，空欄を整数でうめよ．

(3)　さらに$a=b+{\displaystyle \frac{1}{c}}$とおく．${\log }_{2}7$を$c$のみを用いて表せ．

(4)　$4\leqq c\leqq 4.5$がわかっているとき(3)を用いて${\log }_{2}7$の存在する範囲を理由を付して求めよ．

【３】　原点を出発して平面上を動く点$\mathrm{P}$の座標を$(x,y)\text{，}$時間を$t$とするとき，$\mathrm{P}$の運動は次の式で示されている．

$x=at\text{，}$$y=-x^2+a^{2}x$

ただし$t\geqq 0\text{，}a$は定数とする．

(1)　点$\mathrm{P}$が$(1,8)$を通るとき$a$を定め，$\mathrm{P}$が原点からそこまでくる時間を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$と同時に$(-1,0)$を出発して，$x$軸上を正の方向に速さ$v$の等速運動をする点$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$とが$(4,0)$で出会うときの$a$と$v$との値を求めよ．

(3)　$a$がどんな値であっても$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が決して出会わないための$v$の範囲を求めよ．（$v$は正であることに注意せよ．）

【１】

(1)　${\displaystyle \frac{\sqrt{x+1}}{x}}$の導関数を定義に従って求めよ．

【１】

(2)　$x$の三次方程式$x^3-x+t=0$の実根$\alpha$は$t$の値に応じて変り，$t$の関数である．この関数のグラフを与えられた座標軸を用いてかけ．

【２】(1)　$S_n(t)=\sin t+\sin 2t+\cdots +\sin nt$とおくとき$2\sin {\displaystyle \frac{t}{2}}\sin kt=\cos \boxed{\text{ (イ) }}t-\cos \boxed{\text{ (ロ) }}t$の空欄をうめ，次にこの式を利用して$2S_n(t)\sin {\displaystyle \frac{t}{2}}=\cos {\displaystyle \frac{t}{2}}-\cos {\displaystyle \frac{2n+1}{2}}t$であることを証明せよ．

(2)　半径$1$の半円弧$\mathrm{AB}$を$n$等分する分点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{n-1}$及び点$\mathrm{B}$と直径$\mathrm{AB}$との$n$個の距離の和は$S_n(\boxed{})$である．この空欄を埋めよ．

(3)　上記$n$個の距離の（相加）平均は$n$を限りなく増大したときどんな極限値をもつか．

(4)　(3)の極限値はある関数を$0$から$\pi$まで積分した値と考えられる．この関数を書け．以上で角はすべて弧度法を用いて表わすものとする．

【３】　半径$4$の球と，その中心を通る定直線と中心を通りこの直線に垂直な平面とがある．今から毎秒$2$の速さで半径は伸びて行き，平面はこの定直線に垂直に毎秒$3$の速さで中心より離れて行くとき，次の問に答えよ．

(1)　この動く平面から膨張し続ける球により切り取られる断面の面積が$27\pi$となる瞬間においては，この面積は増加中か．減少中か．またこの瞬間の面積の変化率を求めよ．

(2)　またこの膨張し続ける球が動く平面により$2$分される部分のうち，小さい方の体積が最大となるのは今より何秒後か．

【１】　$1$辺の長さ$a$の立方体の$1$頂点を糸でつり上げたとき，その立方体の水平面への正射影の面積を求めよ．

【２】　平面上に位置と大きさの定まった正方形$\mathrm{ABCD}$がある．点$\mathrm{P}$が$\angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{BPC}$となるように動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【３】　正三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心$\mathrm{O}$を通り$\mathrm{AB}$に平行な直線を引き，劣弧$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．このとき

(1)　$\mathrm{AD}=\mathrm{BD}+\mathrm{DC}$であることを証明せよ．

(2)　円の半径の長さが$\sqrt{2}$であるとき，$\mathrm{BD}+\mathrm{DC}$の長さを求めよ．

【４】　円周上の$1$点$\mathrm{P}$より，任意の直径$\mathrm{AB}$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とし，$\mathrm{P}$を通るこの円の接線と，$\mathrm{A}$を通るこの円の接線との交点を$\mathrm{C}$とすれば，$\mathrm{BC}$は$\mathrm{PH}$をどんな比に分けるか．

【１】　商品若干個を昭和$35$年末に仕入れるのに，次の$5$通りの支払方法があるという．ただし残金は打切る約束である．年利率$1$割，$1$年を$1$期とする複利計算で商品の仕入単価が金利を考えて最も安くつく方から順次にならべよ．

(イ)　$34$年末，$35$年末，$36$年末に定価の$3$割ずつを支払う．

(ロ)　$35$年末，$36$年末に定価の$4$割$7$分$5$厘ずつを支払う．

(ハ)　$33$年末に定価の$7$割$5$分を支払う．

(ニ)　$35$年末に定価の$9$割を支払う．

(ホ)　$35$年末に仕入予定数の商品の代金を定価で支払い，商品の個数を$1$割だけ多くもらう．

【２】　鉄棒三本と銅棒二本とを一直線に並べた全長の測定値は$100\mathrm{m}$で，測定値の誤差の限界は$0.5\mathrm{m}$であったという．鉄棒，銅棒はそれぞれ長さ等しく，鉄棒一本は銅棒一本より正確に$5\mathrm{m}$だけ長いものとして，おのおのの一本の長さの近似値とその相対誤差の限界とを求めよ．

【３】　ある市のテレビ受像契約数について下表のような調査資料がある．

(1)　${\displaystyle \sum _{t=1}^5}{(at+2.59-y_t)}^2$が最小となるような$a$の値を求めよ．

(2)　$y=at+2.59$を用いてこの市の昭和$32$年$12$月末のテレビの受像契約数を推定せよ．

理類，水産類，医学進学課程は解析I，解析II，幾何より２科目選択．文類は一般数学を含めた４科目から２科目選択．