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1959 東京大学 1次試験
文科
【1】 次の の中に適当な数を記入せよ.
平行四辺形 ABCD において,辺 AB の方程式は 3⁢ x-4⁢ y+1= 0, 辺 AD の方程式は 2⁢ x+3⁢ y-5= 0 であり,頂点 C の座標が (2 ,6) であるとき,頂点 B の座標は ( (1) , (2) ) , 頂点 D の座標は ( (3) , (4) ) である.
【2】 次の の中に下の イ ロ ハ ニのうち適当なものを記入せよ.
x の二次方程式 x2 -p⁢ x-1= 0 の 2 つの実根のうち小さい方を α とし,大きい方を β とする.
p が正の範囲で増加するとき, α は (5) ,β は (6) .
また p が負の範囲で増加するとき, α は (7) ,β は (8) .
イ 正であって増加する
ロ 正であって減少する
ハ 負であって増加する
ニ 負であって減少する
【3】 次の の中に適当な数を記入せよ.
x ,y に関する 2 つの一次方程式
(2-a )⁢x+ 2⁢y= 0, 2⁢x- (1+a )⁢y= 0
が同じ直線を表わすような a の値が 2 つある.それを a 1, a2 ( a1 <a2 ) とすれば a 1= (9) , a 2= (10) である. a=a 1 のときその直線は点 ( 1, (11) ) を通り, a=a 2 のときその直線は点 ( (12) ,1 ) を通る.
【4】 次の の中に適当な数を記入せよ.
直角三角形 ABC において, ∠A =90 ° ,AB = 5⁢3 2 ,AC = 52 である.いまこの三角形と同じ平面上にあって A を通る直線 l をこの三角形の外側に引き, B ,C から直線 l におろした垂線の足をそれぞれ P , Q とする.直線 l が AC となす角を α ( 0° ≦α≦90 ° ) とすれば,
(1) PQ が最大となるのは α= (13) ° のときであって,その最大値は (14) である.
(2) BP+CQ が最大となるのは α= (15) ° のときであって,その最大値は (16) である.
【5】 次の の中にイ ロ ハ ニ のうちの適当なものを記入せよ.
loga⁡ 8= 2.0794, loga⁡ 9=2.1972 ,loga ⁡10=2.3026
であるとき,次の 4 つの数
イ 1 ロ loga⁡ 2.5 ハ 2.5⁢log 10⁡a ニ (loga ⁡2) ⁢(log a⁡3 )
を大きさの順にならべると,
(17) < (18) < (19) < (20)
となる.
理科・衛生看護学科
変域 x> 0 において 4 つの函数
f1⁡ (x)= x1 , f2⁡ (x)= x 21⋅ 2 ,f3 ⁡(x) = x3 1⋅2 ⋅3 , f4⁡ (x)= x4 1⋅2 ⋅3⋅ 4
を考える.
(1) f2⁡ (x) の値が f1 ⁡(x ) ,f3 ⁢(x) , f4⁡ (x) のどの値よりも大きいような x の範囲は (1) < x< (2) である.
(2) f3⁡ (x ) の値が f1 ⁡(x ), f2⁡ (x) ,f4 ⁡(x ) のどの値よりも大きいような x の範囲は (3) < x< (4) である.
【2】 次の の中に適当な数を記入せよ.
a ,b ,c ,d は実数で, a<c である.等式 ( x-a) 2( b⁢x- x2- 1)= (x- c)2 ⁢( d⁢x- x2- 1) が x についての恒等式であるとき,
a= (5) , b= (6) , c= (7) , d= (8)
である.
【3】 つぎの の中に適当な数を記入せよ.
3 つの円 A ,B ,C がある.円 A の中心は ( 0, 12 ) , 半径は 12 である.円 B は A に接し,かつ x 軸に点 ( 12 ,0 ) で接する.また円 C は A ,B および x 軸と図のように接している.このとき B の半径は (9) ,C の半径は (10) で, C が x 軸と接する点の x 座標は (11) である.
方程式
x= ±a ,y=± b, b⁢x+ a⁢y= ±c2 , (a >0 ,b>0 ,c >0 )
で表わされる 6 個の直線を考える.
(1) これらの直線が図のように六角形を囲むための条件は c2a ⁢b < (12)
(2) その六角形の面積 A が直線 x= ±a ,y=± b で囲まれる長方形の面積の 34 に等しいとき, c2a ⁢b = (13)
(3) c=1 とし, a ,b を条件 a 2+b 2=8 , a≧b >0 のもとで動かすとき,六角形の面積 A が最大となるのは
a= (14) , b= (15) の場合
であって,そのとき A= (16) である.
【5】 次の の中に適当な数を記入せよ.
図のような‘へい’ PQR を境界とする土地がある.この土地の一隅に‘さく’ XYZ ,X ′Y ′ を作って長方形の地面 XY X′ Y ′ と台形の地面 X ′Y ′ZQ を囲み,長方形の面積 A が台形の面積 B の 2 倍となるようにする.いま,‘さく’の全長を 30 m とするとき,総面積 A+ B を最大にするには XY= (17) m , Y Y′ = (18) m , Y′ Z= (19) m にすればよい.そのとき, A+B= (20) m 2 になる.