1959　東京大学　2次試験MathJax

【１】　平面上の点$(x,y)$に

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=2x+y\\ y^{\prime }=3x+2y\end{array}$

によって定まる点$(x^{\prime },y^{\prime })$を対応させる．

(1)　$4$点$(0,0)\text{，}(a,0)\text{，}(0,b)\text{，}(a,b)$を頂点とする長方形は，この対応によってどのような図形にうつるか．図をかいて説明せよ．ただし$a>0\text{，}b>0$とする．

(2)　その図形の面積ともとの長方形の面積との比を求めよ．

【２】　井戸に小石を落としたところ，小石が水面に達した音が$t$秒後に聞こえた．

(1)　重力の加速度を$g\mathrm{m}/{\text{秒}}^2\text{，}$音の速度を$c\mathrm{m}/\text{秒}$，地面から水面までの距離を$d\mathrm{m}$とするとき，$d$を$g\text{，}c\text{，}t$で表わせ．ただし空気の抵抗は無視するものとする．

(2)　音が伝わるのに要する時間を無視すれば，$\alpha$の近似値として$d^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2$が得られる．

　このとき，相対誤差${\displaystyle \frac{d^{\prime }-d}{d}}$が与えられた正数$\alpha$より小さくなるために，$t$は$g\text{，}c\text{，}\alpha$によって定まるある限界より小さくなければならない．この限界を求めよ．

【１】　$2$つの円弧$\mathrm{A}{\mathrm{C}}_1\mathrm{B}$と$\mathrm{A}{\mathrm{C}}_2\mathrm{B}$が弦$\mathrm{AB}$と同じ側にあって，いずれも半円より大きいとする．$\mathrm{A}$を通る直線$l$が弧$\mathrm{A}{\mathrm{C}}_1\mathrm{B}\text{，}\mathrm{A}{\mathrm{C}}_2\mathrm{B}$と交わる点をそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$とすれば，$l$がどのような位置にあるとき線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の長さが最大となるか．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$の内部に$▵{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$をとり，その$3$辺${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }$はそれぞれ$▵\mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$に平行で，対応する辺の間の距離はいずれも$h$であるとする．$▵{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の周が$▵\mathrm{ABC}$の周の${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとき，$h$を$a\text{，}b\text{，}c$で表わせ．ただし$a=\mathrm{BC}\text{，}b=\mathrm{CA}\text{，}c=\mathrm{AB}$とする．

【１】　時刻$t$における点$\mathrm{P}$の位置$(x,y)$が次の方程式(1)，(2)，(3)，(4)によって与えられている．各場合について，$t$が$0$から$2\pi$まで変わるとき点$\mathrm{P}$のえがく軌跡を下の例にならって図示せよ．

例$\{\begin{array}{ll}x=t& \\ y=t-{\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2& (0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{2}{g}})\end{array}$

(1)　$\{\begin{array}{l}x=\cos t\\ y=2\cos (t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\end{array}$

(2)　$\{\begin{array}{l}x=\cos t\\ y=\cos (t+\pi )\end{array}$

(3)　$\{\begin{array}{l}x=\cos t\\ y=\cos 2t\end{array}$

(4)　$\{\begin{array}{l}x=\cos t\\ y=\cos (2t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\end{array}$

【２】　$a\text{，}b$は実の定数で，$a<b$である．このとき，$t$を任意の正の数とすれば$z$に関する二次方程式

${\displaystyle \frac{1}{t}}{(z-a)}^2+t{(z-b)}^2=0$

は虚根をもつ．それらを$x+yi\text{，}x-yi$（$x\text{，}y$は実数で$y>0$）とすれば，$t$が正の範囲を動くとき点$(x,y)$はどのような曲線をえがくか．それを図示せよ．

【１】　$a\text{，}b$を実の定数とするとき，定積分

$I(a,b)={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(1-a\sin x-b\sin 2x)}^{2}dx$

を求めよ．また$I(a,b)$を最小にする$a\text{，}b$の値を定めよ．

【２】　$x\text{，}y$平面上の点$(0,a)$を$\mathrm{P}\text{，}$直線$y=a$を$g$とする．$g$を含み$y$軸に垂直な平面上に，$\mathrm{P}$を中点とし$g$と角$60\mathrm{°}$をなす長さ$2b$の線分$\mathrm{AB}$をとり，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$から$x$軸におろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とする．ねじれ四辺形$\mathrm{ABDC}$を$x$軸のまわりに回転するときできる立体の体積を求めよ．