1960　北海道大学MathJax

【１】

(1)　方程式$(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15=0$を解け．

【１】

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$は互いに相異なる実数で

$a^3+b^3+2(a^2+b^2)=b^3+c^3+2(b^2+c^2)=c^3+a^3+2(c^2+a^2)$

が成立するとき，次の式の数値を求めよ．

(ⅰ)　$a+b+c$   (ⅱ)　$ab+bc+ca$

【２】　$x$に関する二次不等式

$p\{x^2-(p^2+p+2)x+p^3+2p^2\}\leqq 0$

を満足する$x$の最大値が$3$となるように$p$を定めよ．

【３】　次の三つの条件を満足する放物線のうちで，頂点が$y$軸に最も近いものの方程式を求めよ．

(ⅰ)　$y$軸に平行な軸をもつ．

(ⅱ)>　直線$y=x$に接する．

(ⅲ)　$x$軸より切りとる線分の長さが$2$である．

【４】　$f(x)=\mathrm{cosec}2x-2\cos 4x\text{，}\sin 2x=t$のとき

(1)　$f(x)$を$t$の式で表せ．

(2)　(1)の式の極小値を求めよ．

(3)　(1)の式が極小となるときの$\tan x$の値を求めよ．

【５】　放物線$y=x^2$において

(1)　この曲線上の点$(a,a^2)$を通り，この点における接線に垂直な直線（この点における法線）の方程式を求めよ．

(2)　二点$\mathrm{P}(a,a^2)\text{，}\mathrm{Q}(b,b^2)$における法線の交点は，$\mathrm{Q}$が限りなく$\mathrm{P}$に近づくときどのような点に近づくか．

(3)　(2)における点は$a$を変化させるとき，どんな曲線の上を動くか．その方程式を求めよ．

【６】(1)　二つの曲線$y=x^2\text{，}x+\sqrt{y}=2$と$y$軸とによって囲まれる部分を斜線によって図示し，その面積を求めよ．

(2)　(1)の部分を$y$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

【７】　一辺の長さ$a\text{，}\angle \mathrm{A}=60°$であるひし形$\mathrm{ABCD}$の四辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$上にそれぞれ点$\mathrm{K}\text{，}\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$をとり

$\mathrm{AK}:\mathrm{KB}=\mathrm{BL}:\mathrm{LC}=\mathrm{CM}:\mathrm{MD}=\mathrm{DN}:\mathrm{NA}=1:2$

となるようにし，直線$\mathrm{DK}$と二直線$\mathrm{CN}\text{，}\mathrm{AL}$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とするとき，次の空欄をうめ，その理由をかけ．

(1)　$\mathrm{DK}$の長さ$\boxed{}$

(2)　$\mathrm{DP}:\mathrm{PQ}:\mathrm{QK}=\boxed{}:\boxed{}:\boxed{}$

(3)　四辺$\mathrm{AL}\text{，}\mathrm{BM}\text{，}\mathrm{CN}\text{，}\mathrm{DK}$によって囲まれた平行四辺形の面積を$S$とするとき

$S:\text{ひし形}\mathrm{ABCD}=\boxed{}:\boxed{}$

編集者注：最後の「ひし形$\mathrm{ABCD}$」の「ひし形」は，実際は平行四辺形の記号．

【８】　$\mathrm{AB}$は半径$r$の円の定直径，$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BD}$は相交わる任意の二弦で，その交点を$\mathrm{E}$とすれば

${\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BC}}^2+\mathrm{BD}\cdot \mathrm{ED}+\mathrm{AC}\cdot \mathrm{EC}$

は一定であることを示せ．

【９】　楕円$x^2+5y^2=2$について

(1)　焦点間の距離を求めよ．

(2)　直線$x+y=k$が接線となるときの$k$の値と，中心からその接線までの距離を求めよ．

(3)　中点の座標が$(1,{\displaystyle \frac{2}{5}})$であるような弦の方程式を求めよ．

一般数学３問は未入手．

理類，水産類，医学進学課程は【１】〜【９】から６題選択．文類は一般数学を含めた１２題から６題選択．