1960　室蘭工業大学MathJax

【１】　$2$点$(313,103)\text{，}(-95,943)$を結ぶ線分上にあって，$x\text{，}y$両座標がともに整数である点の個数を求めよ．

【２】　$2x={\log }_a\{(1+y)÷(1-y)\}$を$y$について解いた式を$y=f(x)$とするとき，$f(x)$と$f(y)$とを用いて$f(x+y)$を表せ．ただし，対数の底は正数$a$とする．

【３】　正三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$上にそれぞれ内分点${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$をとって$\mathrm{B}{\mathrm{A}}^{\prime }:{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{C}=\mathrm{C}{\mathrm{B}}^{\prime }:{\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{A}=\mathrm{A}{\mathrm{C}}^{\prime }:{\mathrm{C}}^{\prime }\mathrm{B}=1:2$ならしめるとき，$3$線分$\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}\mathrm{C}{\mathrm{C}}^{\prime }$の二つずつの交点を頂点とする三角形と三角形$\mathrm{ABC}$との面積の比を求めよ．

【４】　定直線上の$3$定点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がこの順序にあるとき，三角形$\mathrm{APC}$と三角形$\mathrm{ABP}$とが相似になる点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【５】　$0<a<1$のとき，$3$次方程式

$x^3+(a-2)x^2+(a^2-2a-1)x-2(a^2-1)=0$

は$0$と$1$との間に実根をもつことを証明し，その実根を求めよ．

【６】　$x+y+z=\pi$のとき，つぎの等式を証明せよ．

${\sin }^{2}x={\sin }^{2}y+{\sin }^{2}z-2\sin y\sin z\cos x$