1960　東京大学　1次試験MathJax

【１】　次の$\boxed{}$の中に適当な数を記入せよ．

　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}\text{，}$直線$\mathrm{MN}\text{，}\mathrm{NL}\text{，}\mathrm{LM}$の方程式をそれぞれ$2x-4y-3=0\text{，}$$2x+2y-3=0\text{，}$$4x-2y-9=0$とするとき，三点$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の座標はそれぞれ

$\mathrm{L}(\boxed{\text{(1)}},\boxed{\text{(2)}})\text{，}$$\mathrm{B}(\boxed{\text{(3)}},\boxed{\text{(4)}})\text{，}$$\mathrm{C}(\boxed{\text{(5)}},\boxed{\text{(6)}})$

である．

【２】　次の$\boxed{}$の中に適当な数を記入せよ．

　$a\text{，}b\text{，}c$が定数であるとき，$x\text{，}y$の式$ax+(a+b)y+(a+b+c)$の，三点$\mathrm{A}(1,1)\text{，}\mathrm{B}(2,2)\text{，}\mathrm{C}(3,4)$における値がすべて$1$となるならば，

$a=\boxed{\text{(7)}}\text{，}b=\boxed{\text{(8)}}\text{，}c=\boxed{\text{(9)}}$

である．

【３】　次の$\boxed{}$の中に適当な数を記入せよ．

　$x$軸の正の部分に接する円が，直線$4x+3y-4=0$に点$(4,\boxed{\text{(10)}})$で接するならば，その円の中心の座標は$(\boxed{\text{(11)}},\boxed{\text{(12)}})$である．

【４】　次の$\boxed{}$の中に適当な数を記入せよ．

　三次式$x^3+A{x}^2+Bx+2$が二次式$x^2+ax+b$（ただし$a<b$）でも$x^2+bx+a$でも割り切れるならば，

$A=\boxed{\text{(13)}}\text{，}B=\boxed{\text{(14)}}\text{，}a=\boxed{\text{(15)}}\text{，}b=\boxed{\text{(16)}}$

である．

【５】　次の$\boxed{}$の中に下のイロハのうちの適当なものを記入せよ．

(ⅰ)　$0<x<6$の範囲で$f(x)=x^2-5x$と$g(x)=x-1$との大きさを比べると$\boxed{\text{(17)}}$．

(ⅱ)　$0\mathrm{°}<x<90\mathrm{°}$の範囲で$f(x)=1-\cos x$と$g(x)={\sin }^{2}x$との大きさを比べると$\boxed{\text{(18)}}$．

(ⅲ)　$0\mathrm{°}<x<45\mathrm{°}$の範囲で$f(x)=\tan x+\cot x$と$g(x)=2$との大きさを比べると$\boxed{\text{(19)}}$．

(ⅳ)　$1<x$の範囲で$f(x)={\log }_{2}x$と$g(x)=\sqrt{x}-1$との大きさを比べると$\boxed{\text{(20)}}$．

イ　$f(x)$は$g(x)$よりつねに大きい．

ロ　$f(x)$は$g(x)$よりつねに小さい．

ハ　イ，ロのどちらでもない．

【１】　次の$\boxed{}$の中に適当な数を記入せよ．

　$x$が不等式${\displaystyle \frac{x}{x-1}}<-1$を満たすあらゆる実数値をとるとき，函数${\displaystyle \frac{1}{x}}\text{，}{\displaystyle \frac{x^2-x-3}{x-2}}$のとる値の範囲はそれぞれ不等式

$\boxed{\text{(1)}}<{\displaystyle \frac{1}{x}}<\boxed{\text{(2)}}\text{，}\boxed{\text{(3)}}<{\displaystyle \frac{x^2-x-3}{x-2}}<\boxed{\text{(4)}}$

で表わされる．

【２】　次の$\boxed{}$の中に適当な数を記入せよ．

　$\alpha$を正の定数とし，連立方程式

$\{\begin{array}{c}3x+2y=5\\ x-\alpha y=7\end{array}$

の解$x=x_1\text{，}y=y_1$と，連立方程式

$\{\begin{array}{l}3x+2y=5\\ x+\alpha y=7\end{array}$

の解$x=x_2\text{，}y=y_2$との間に$y_2=x_1+1$という関係があるならば，

$\alpha =\boxed{\text{(5)}}\text{，}{x}_1=\boxed{\text{(6)}}\text{，}{y}_1=\boxed{\text{(7)}}\text{，}{x}_2=\boxed{\text{(8)}}$

である．

【３】　次の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，(ⅳ)において，$\mathrm{A}$欄の二式がともに成り立つために，$\mathrm{B}$欄の二式がともに成り立つことが

必要十分であるときは　イ

必要であるが十分でないときは　ロ

十分であるが必要でないときは　ハ

必要でも十分でもないときは　ニ

を$\mathrm{C}$欄の$\boxed{}$の中に記入せよ．ただし$x\text{，}y$は実数を表わす．

【４】　次の$\boxed{}$の中に適当な数を記入せよ．

　円$x^2+y^2=4$と直線$x=-1$で囲まれた弓形のうち，大きい方を$\mathrm{ACB}$とする．弧$\mathrm{ACB}$上に二点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をとり，線分$\mathrm{PQ}$を折り目として，図のように弓形$\mathrm{PCQ}$を折り返し，点$\mathrm{D}(-1,{\displaystyle \frac{1}{2}})$で弦$\mathrm{AB}$に接するようにすれば，円$\mathrm{PDQ}$の中心の座標は$(\boxed{\text{(13)}},\boxed{\text{(14)}})\text{，}$弦$\mathrm{PQ}$の中点の座標は$(\boxed{\text{(15)}},\boxed{\text{(16)}})$である．

【５】　次の$\boxed{}$の中に適当な整数を記入せよ．

${\log }_{2}23$の小数第一位以下を切り捨てると$\boxed{\text{(17)}}$となる．

${\log }_{4}31$の小数第一位以下を四捨五入すると$\boxed{\text{(18)}}$となる．

${\log }_{3}140$の小数第一位以下を四捨五入すると$\boxed{\text{(19)}}$となる．

${\log }_{5}56$の小数第一位以下を四捨五入すると$\boxed{\text{(20)}}$となる．

　ただし$\sqrt{3}=1.732\cdots \text{，}\sqrt{5}=2.236\cdots$である．