1961　北海道大学MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$で表わすとき，次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}={\mathrm{AD}}^2+\mathrm{BD}\cdot \mathrm{CD}$を証明せよ．

(2)　$\mathrm{BD}$を$a\text{，}b\text{，}c$で表せ．

(3)　$\mathrm{AD}$を$a\text{，}b\text{，}c$で表せ．

【２】　$2x+ay=2\cdots \text{㋑}\text{，}(a+2)x-y=a+6\cdots \text{㋺}$

　$\text{㋑}\text{，}\text{㋺}$を同時に満たす整数$x\text{，}y$があるように$a$の値を求めよ．

【３】　$3$桁の整数$A\text{，}B$があって，$B$は$900$より大きく，$B$の常用対数の仮数は$A$の常用対数の仮数の$2$倍である．$A\text{，}B$を求めよ．

【４】　$x$に関する実係数の二次方程式$(a+2)x^2-2(a-1)x-(a^2-1)=0$が異符号の実根$\alpha \text{，}\beta$をもつとき

(1)　$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$\alpha \beta +2(\alpha +\beta )$の最大値を求めよ．

【５】(1)　$f(x)=x^2+x-2$として，$g(x)={\displaystyle \frac{|f(x)|-f(x)}{2}}$のグラフをかけ．

(2)　$a>0$のとき，直線$y=ax+b$と曲線$y=g(x)$が相異なる$3$点で交わるとき，$a\text{，}b$の関係を式で表し，その式を満たす$a\text{，}b$を座標とする点の存在範囲を図示せよ．

【６】　$t$の函数

$x=2(\sin {\displaystyle \frac{t}{2}}+\cos {\displaystyle \frac{t}{2}})\cos {\displaystyle \frac{t}{2}}\text{，}y=\sin 3t-\cos 3t$

について，次の問に答えよ．

(1)　$s=\sin t+\cos t$とおくとき，$x$と$y$を$s$で表せ．

(2)　$x$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡をグラフで表せ．

【７】　初項が$50\text{，}$公差が整数である等差数列のはじめの$n$項の和を$S_n$で表わすとき，無限数列$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3\text{，}\cdots \text{，}$の項の中で最大のものが$S_{17}$であるという．

(1)　この等差数列の公差を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^3}}\{S_1+S_2+\cdots +S_n\}$を求めよ．

【８】　$f(x)=x^4-4x^3+2a{x}^2$について，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$が極大値をもたないのは$a$の値がどんな範囲のときか．

(2)　$f(x)$が極大値をとるとき，極大値を与える$x$の値を求めよ．

【９】(1)　動き始めてから$t$時間たった瞬間には$1$時間に$3\pi t^2{m}^3$の割合で水をはきだすポンプがある．このポンプが動き始めてから$4$時間後までにどれだけの水をはきだすか．

(2)　このポンプで内のりの直径$8m$の半球状の容器に深さが$hm$になるまで注水するには何時間を要するか．

(3)　注水し始めてから$3$時間たったときの水面の上昇速度を求めよ．

【２】　$y=ax+2a+1$について

(1)　$-1<x<1$で$y$が必ず正になるように実数$a$の範囲を求めよ．

(2)　$-1\leqq x\leqq 1$で$y$が正の値と負の値を必ずとるように実数$a$の範囲を定めよ．

(3)　$-{\displaystyle \frac{1}{6}}<a<1$のとき，$y$が常に正となるような$x$の範囲を求めよ．

理類，水産類，医進は全６問必須．文類は数学I（【１】〜【３】），数学II（【４】〜【６】），数学III（【７】〜【９】）から２科目選択．