1961　室蘭工業大学MathJax

【１】　連立方程式

$|x-y|+|x+y|=3\text{，}{x}^2+y^2={\displaystyle \frac{5}{2}}$

を解け．

【２】　曲線$y=a{x}^2\text{（}a\ne 0\text{）}$と曲線$x^2+{(y-b)}^2=1$とが共通点をもたないような$a\text{，}b$の間の関係を求めて，点$(a,b)$の存在する範囲を図示せよ．

【３】　直線$y=m^2(x-1)$と$x$軸および曲線$y=|x(x-2)|$との交点がそれぞれ順に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$であるとき，$\mathrm{AP}=\mathrm{PQ}$となるような$m$の値を求めよ．

【４】　$3a$だけはなれた$2$地点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$からテレビ塔の頂点をあおいだ仰角がともに$30$度であって，$\mathrm{A}$から$2a\text{，}\mathrm{B}$から$4a$だけはなれた地点$\mathrm{C}$から仰いだ仰角が同じく$30$度であったという．テレビ塔の高さを求めよ．ただし，テレビ塔は$3$地点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$と同じ水平面上に立っているものとする．

【５】　函数$s(x)\text{，}c(x)$が任意の実数$x\text{，}y$にたいして

${\{c(x)\}}^2-{\{s(x)\}}^2=1\text{，}$

$s(x+y)=s(x)c(y)+c(x)s(y)\text{，}$

$c(x+y)=c(x)c(y)+s(x)s(y)$

を満足するとき，つぎのことを証明せよ．

1)　$s(0)=0\text{，}c(0)=1$

2)　もしも$s^{\prime }(0)\text{，}{c}^{\prime }(0)$が存在すれば

$s^{\prime }(x)=s(x)c^{\prime }(0)+c(x)s^{\prime }(0)\text{，}$

$c^{\prime }(x)=c(x)c^{\prime }(0)+s(x)s^{\prime }(0)$

が成り立つ．

【６】　つぎの$3$条件を同時に満足する整式$f(x)$を求めよ．

1)　$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x^3}}=-1\text{，}$

2)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\tan x}{f(x)}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$

3)　$f(x)$は$x=a\text{，}b$で極値をとり${\displaystyle {\int }_a^b}f(x)dx=0$．