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1961 東京大学 1次試験

文科

易□ 並□ 難□

【1】 次の   にあてはまる数は何か.

  a b 1a+ 1 2b = 15 であるような任意の数とするとき,二点 (a ,0) (0 ,b) を通る直線は定点 ( (1) , (2) ) を通る.

 また 1a + 12 b = 15 a ba b ならば,二点 ( a ,0 )( 0,b) を通る直線と二点 (a ,0) ( 0,b ) を通る直線との交点は定直線 y= (3) x の上にある.

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文科

易□ 並□ 難□
1961年東大1次試験文科【2】の図

【2】 次の   にあてはまる数は何か.

 点 (4 ,2) A とし,図のように,線分 OA を原点 O のまわりに 45 ° 回転して OB の位置に移したとき,点 B の座標は ( (4) , (5) ) である.

 また, OAB の外接円の中心の座標は ( 3- (6) , (7) -1 ) である.



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文科

易□ 並□ 難□

【3】 次の   にあてはまる数は何か.

  f(θ )=cos 7θ- cos3 θ とする.

(ⅰ)  0° <θ<60 ° の範囲において,

不等式 f (θ)> 0 の解は (8) ° <θ< (9) °

不等式 f (θ)< 0 の解は (10) ° <θ< (11) ° である.

(ⅱ) また, 0° <θ<120 ° の範囲において,方程式 f( θ)=0 の解は (12) 個ある.

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文科

易□ 並□ 難□

【4】 次の   にあてはまるのはイ,ロ,ハのなかのどれか.イ,ロ,ハで答えよ.

(ⅰ) イ  1000   ロ  210   ハ  5 53

のなかで最大なものは (13) である.

(ⅱ) イ  15× 105   ロ  313   ハ  58 × 4

のなかで最大なものは (14) である.

(ⅲ) イ  0.001   ロ  2 452   ハ  ( 3 4) 24

の中で最大なものは (15) である.

(ⅳ) イ  -1.5   ロ  log0.5 3   ハ  log 132

の中で最大なものは (16) である.

 ただし, log2= 0.3010 log 3=0.4771 である.

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文科

易□ 並□ 難□

【5】 次の   にあてはまる数は何か.

 函数 f (x)=x +a+ bx において, f ( 12 ) =0 f ( 12 )= -8 であるとすれば, a= (17) b= (18) である.また, f(x )=0 となるのは x= 1 2 のほかに, x= (19) のときである.さらに, x>0 の範囲で f (x) が最小値をとるのは, x= (20) のときである.

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理科・衛生看護学科

易□ 並□ 難□

【1】 次の   にあてはまる数は何か.

 周期が 3 の周期函数 f (x ) があって,そのグラフには切れめがない.また

(ⅰ)  0x 1 では, f(x )=4 x2

   1x 3 では f (x)= ax3 +b x2+ cx+ d と書くことができる.

(ⅱ)  f(5 )=8 f (5 )=-1 である.

 このとき a= (1) b =(2) c= (3) d= (4)

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理科・衛生看護学科

易□ 並□ 難□

【2】 次の   にそれぞれ不等号または等号があてはまる.それは何であるか. > ならばイ, = ならばロ, < ならばハと答えよ.

  0<x< 1 のとき,

(ⅰ)  2x (5) 2 x

(ⅱ)  2( x2 ) (6) ( 2x) 2

(ⅲ)  2log x (7) x log2

(ⅳ)  x3 (8) x 3

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理科・衛生看護学科

易□ 並□ 難□

【3】 次の   にあてはまる数は何か.

 二つの等式

11cos θ+3 sin θ=k cosθ

3cos θ+13 sinθ =ksin θ

が同時に成り立つような k の値は二つある.大きい方を α 小さい方を β とすれば

α= (9) β= (10)

である.

 また

k=α のとき θ= (11) π

k=β のとき θ= (12) π

である.ただし 0 θπ とする.

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理科・衛生看護学科

易□ 並□ 難□
1961年東大1次試験理科【4】の図

【4】 次の   にあてはまる数は何か.

 半径 1 の二円 A B がいま図の位置にあり, A の中心 (- 10,0) x 軸上を左から右へ, B の中心 (0 ,8) y 軸上を上から下へ,ともに毎秒 1 の速さで動く.

 円 A B が最初に接するのはいまから (13) 秒後で,二度目に接するのはいまから (14) 秒後である.

 また円 A B が交わってできる共通部分の面積が最大になるのは,いまから (15) 秒後で,そのとき共通部分の面積は (16) π- 1 である.

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理科・衛生看護学科

易□ 並□ 難□

【5】 次の   にあてはまるのは何か.(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)には数で,(ⅳ)にはイ,ロ,ハで答えよ.

 辺の長さ 1 の正四面体 ABCD において,辺 AB の中点を P CD の中点を Q とするとき,

(ⅰ) 線分 PQ の長さは (17)

(ⅱ)  cos AQB= (18)

(ⅲ) 各面の重心を頂点とする四面体の体積は,四面体 ABCD の体積の (19) 倍に等しい.

(ⅳ) イ  QAB   ロ  AQB   ハ  BAC

のなかで最も大きいものは (20) である.

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