1962　北海道大学MathJax

【１】(1)　図のように$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と直線$l$とが与えられている．この$2$点を通り$l$に接する円をかけ．（作図のみでよい）

(2)　図のように$2$点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$と円$O$とが与えられている．この円の$1$つの直径$\mathrm{PQ}$を引き$\mathrm{PC}=\mathrm{QD}$になるようにせよ．（作図のみでよい）

【２】　$x$について次の$2$つの二次函数がある．

$y=a{x}^2+4x+3a\cdots \text{㋑}$

$y=x^2+2(b+2)x+b^2+3b\cdots \text{㋺}$

(1)　$\text{㋑}$の値が$x$のどんな値に対しても$3$より大きくないとき，$a$はどのような範囲の値であるか．

(2)　$\text{㋑}$が(1)を満たすとき，$\text{㋑}$のグラフを左に（$x$軸に負の向きに）$1$だけ平行移動すると，このグラフの頂点と$\text{㋺}$のグラフの頂点とは$x$軸に関して対称になるという．$a\text{，}b$の値を求めよ．

【３】　${(a-b)}^2+{(b-c)}^2+{(c-a)}^2\ne 0\text{，}a(1+c)=b(1+a)=c(1+b)$とする．

(1)　$a(1+c)$の値を求めよ．

(2)　さらに$a+b+c=ab+bc+ca$のとき，$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

【４】

${\log }_{0.5}x+{\log }_{0.5}{\displaystyle \frac{x^2}{128}}>-6\cdots \text{㋑}\text{，}$

$2x^2+3(2a-1)x<9a\cdots \text{㋺}$

(1)　$\text{㋑}$をみたす$x$の範囲を求めよ．

(2)　$\text{㋺}$を満たすすべての$x$が$\text{㋑}$を満たすとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$\text{㋑}$と$\text{㋺}$を同時に満たす$x$の整数値が$2$のみであるとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

【５】　放物線$y^2=4px\text{（}p>0\text{）}$と双曲線$xy=-1$とがある．

(1)　この放物線の傾き$m$の接線の方程式を求めよ．

(2)　この双曲線の傾き$m^{\prime }$の接線の方程式を求めよ．

(3)　この放物線と双曲線の共通接線の方程式を求めよ．

【６】

(1)　$\sin 3\theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，次の式の値を求めよ．

$2\sin (\pi -2\theta )\sin \theta +{\displaystyle \frac{3}{2}}\cos (6\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{2}})-2{\cos }^2({\displaystyle \frac{\theta }{2}}-\pi )$

【６】

(2)　$2\cos x(\cos 4x-1)-3(\cos 3x+\cos x)<0$を解け．ただし$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【７】　数列$\left\{a_n\right\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$n$のどんな値に対しても

${(-1)}^n(2n^2+4n+1)$

であるとする．

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }({\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k}{a^k}})$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{p=1}^n}{a}_{2p}}{n^t}}=l$（零でない有限な値）となるとき$t$と$l$とを求めよ．

【８】　$f(x)=\underset{t\to x}{\lim }{\displaystyle \frac{t\sqrt{x-1}-x\sqrt{t-1}}{t-x}}$（ただし$1<x$）について

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$となる$x$を求めよ．

(3)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

【９】　

$y=-x+2+\sqrt{n}\cdots \text{㋑}\text{，}$

$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+2\cdots \text{㋺}$

(1)　$\text{㋑}$と$\text{㋺}$のグラフを同一座標平面にかけ．また$\text{㋑}$の函数の極大値を求めよ．

(2)　$\text{㋑}$と$\text{㋺}$のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)　次に，この部分を$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ．

【４】(1)　放物線$y^2=4dx$上の点$\mathrm{P}(x_1,y_1)$における接線の方程式を求めよ．

(2)　放物線$y^2=4dx$上に頂点$\mathrm{O}$と異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を$2$直線$\mathrm{AO}\text{，}\mathrm{BO}$が直交するようにとる．このとき点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$における$2$つの接線の交点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

理類，水産類，医学進学課程は全６問必須．文類は数学I（【１】〜【３】），数学II（【４】〜【６】），数学III（【７】〜【９】）から２科目選択．