1962　東京大学　2次試験MathJax

【１】　$2$次方程式$x^2-2x{\log }_{a}b+{\log }_{b}a=0$が実根$\alpha \text{，}\beta$をもち，$0<\alpha <1<\beta$となるものとする．

　このとき$a\text{，}b\text{，}1$の大きさの順序はどのようになるか．ただし$a\text{，}b$はいずれも$1$と異なる正の数とする．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}=90\mathrm{°}\text{，}\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2$とする．点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$から直線$\mathrm{BC}$に関して$\mathrm{A}$と同じ側に辺$\mathrm{BC}$に垂直な半直線$\mathrm{BX}\text{，}\mathrm{CY}$を引く．半直線$\mathrm{BX}\text{，}$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}$半直線$\mathrm{CY}$の上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}$をとり，

$\mathrm{PQ}⫽\mathrm{BC}\text{，}{\displaystyle \frac{\cos \angle \mathrm{BQP}}{\cos \angle \mathrm{AQR}}}=\sqrt{2}\text{，}\angle \mathrm{BRQ}=\angle \mathrm{CRS}\text{，}{\displaystyle \frac{\cos \angle \mathrm{CST}}{\cos \angle \mathrm{ASR}}}=\sqrt{2}$

となるようにする．

　$\mathrm{BP}=x\text{，}\mathrm{CT}=y$とするとき，$x$と$y$との間にはどのような関係式が成り立つか．

【３】　半径$a$の円周を$6$等分する点のそれぞれを中心として，半径$a$の円をえがくとき，これら$6$個の円がおおう範囲（図の太線で囲まれた範囲）の面積を求めよ．

【４】　図のような$xy$平面上の図形において，$\mathrm{OE}=\mathrm{OF}=1\text{，}\angle \mathrm{EOF}=90\mathrm{°}\text{，}\tan \alpha =\sqrt{2}$とし，$\mathrm{ABCD}$は$\angle \mathrm{EOF}$の中にある長方形で$\mathrm{AB}=1\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{2}$なるものとする．

　この長方形の頂点$\mathrm{A}$が$\mathrm{OE}$上を$\mathrm{E}$から$\mathrm{O}$に向かって動き，頂点$\mathrm{B}$が$\mathrm{OF}$上を$\mathrm{O}$から$\mathrm{F}$に向かって動くとき，

(ⅰ)　$\angle \mathrm{CBF}$を$\theta$として頂点$\mathrm{C}$の座標を$\theta$で表せ．

(ⅱ)　$\mathrm{C}$はどのような曲線をえがくか．

【５】　$1$つの頂点から出る$3$辺の長さが$x\text{，}y\text{，}z$であるような直方体において，$x\text{，}y\text{，}z$の和が$6\text{，}$全表面積が$18$であるとき，

(ⅰ)　$x$のとりうる値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　このような直方体の体積の最大値を求めよ．

【３】　図で，$g$は水平面に対する傾き$\tan \alpha$が${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるような定直線とし，$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}$は$\mathrm{A}$で（ちょうつがいで）連結された長さの等しい棒で，その端$\mathrm{O}$は$g$上の定点に固定され，$\mathrm{OA}$は$g$を含む鉛直面内で自由に回転し，他の端$\mathrm{B}$は$g$上を動くことができるようになっている．

　このとき，折れ線$\mathrm{OAB}$の重心$\mathrm{G}$（$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}$の中点を結ぶ線分の中点）が最低になるのは，$\mathrm{OA}$の水平面となす傾き$\tan \theta$がいくらになるときか．

【４】　無限級数

${\displaystyle \frac{r}{1-r^2}}+{\displaystyle \frac{r^2}{1-r^4}}+{\displaystyle \frac{r^4}{1-r^8}}+\cdots +{\displaystyle \frac{r^{2^{n-1}}}{1-r^{2^n}}}+\cdots$

の和を求めよ．ただし$|r|\ne 1$とする．

【６】　曲線$y=6\sin {\displaystyle \frac{x}{6}}$の上で$x=2\pi \text{，}x=6\pi$なる点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$における曲線の接線の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき

(ⅰ)　$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　線分$\mathrm{PR}\text{，}\mathrm{QR}$と上の曲線とで囲まれる図形の面積を求めよ．