1963　室蘭工業大学MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において$\angle C=30\mathrm{°}\text{，}\angle C$の$2$等分線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=3:1$であるならば$\tan B$の値はいくらか．

【２】　$x$についての$2$次方程式$x^2-3x+a=0$と$x^2-bx-a=0$とが実根を共有しているとする．

(1)　$a\text{，}b$ともに正の整数ならばその実根はどんな値か．

(2)　$0<a<1$であるならば$b$はどんな範囲の値か．

【３】(1)　$2$つの不等式

$(x^2-1)(y^2-1)<0\text{，}(x+y)\{{\displaystyle \frac{x}{x^2-1}}+{\displaystyle \frac{y}{y^2-1}}\}\leqq 0$

を同時に満足する点$(x,y)$の存在する範囲を図示せよ．

(2)　(1)の範囲で$|y+2x|$のとる値の最小値を求めよ．

【４】　頂点が$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\text{，}\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0)$である三角形$\mathrm{AOB}$において辺$\mathrm{OB}$上の任意の点${\mathrm{P}}_1$から辺$\mathrm{AB}$におろした垂線の足を${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_1$から辺$\mathrm{AO}$に下ろした垂線の足を${\mathrm{R}}_1\text{，}{\mathrm{R}}_1$から辺$\mathrm{OB}$におろした垂線の足を${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_2$から辺$\mathrm{AB}$におろした垂線の足を${\mathrm{Q}}_2\text{，}{\mathrm{Q}}_2$から辺$\mathrm{AO}$におろした垂線の足を${\mathrm{R}}_2\text{，}{\mathrm{R}}_2$から辺$\mathrm{OB}$におろした垂線の足を${\mathrm{P}}_3\text{，}$以下このようにして辺$\mathrm{OB}$上に点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n\text{，}\cdots$を定める．

(1)　一般に点${\mathrm{P}}_n$の$x$座標を$x_n$として，$x_n$と$x_{n+1}$との間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)　はじめにとった点${\mathrm{P}}_1$の位置がどうであっても，$n$が大きくなるにつれて点${\mathrm{P}}_n$は辺$\mathrm{OB}$上の定点に近づくことを証明せよ．

【５】　$2$点$(\sqrt{t},0)\text{，}(0,1-\sqrt{t})$を通る直線と，$2$点$(\sqrt{s},0)\text{，}(0,1-\sqrt{s})$を通る直線との交点の$x\text{，}y$座標の$s\to t$のときの極限値をそれぞれ$X(t)\text{，}Y(t)$とするとき，点$(X(t),Y(t))$が${\displaystyle \frac{1}{10}}<t<1$の間でえがく曲線と曲線$y=9{(x-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^2$との囲む部分の面積を求めよ．