1963　東京大学　2次試験MathJax

【１】　直方体の一つの頂点$\mathrm{O}$から出る三つの辺を$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$とし，$\mathrm{O}$から最も遠い頂点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{BC}=a\text{，}\mathrm{CA}=b\text{，}\mathrm{AB}=c$とするとき，$\mathrm{OD}$の長さを$a\text{，}b\text{，}c$で表せ．

　また，$a=5\text{，}b=3$のとき$c$のとりうる値の範囲を求めよ．

【２】　$\mathrm{P}$は平面上の定点，$l$はこの平面上の定直線で，$\mathrm{P}$から$l$までの距離は$\sqrt{3}+1$である．また，$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$はこの平面上の動点で，$\mathrm{S}$は$l$上にあるものとする．$\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{QR}\text{，}\mathrm{RS}$の長さはそれぞれ一定で，$2+\sqrt{2}\text{，}2-\sqrt{2}\text{，}\sqrt{3}-1$に等しい．このとき$\mathrm{R}$の動きうる範囲を図示し，その面積を求めよ．

【３】　

$f(x)={\displaystyle \frac{4x-2}{5-x}}\text{（}x\ne 5\text{）}$

とするとき

(1)　$y=f(x)-x$のグラフをかけ．

(2)　$f(x)-x$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$f(x)>x$となる$x$の範囲を求めよ．

【４】　一辺の長さ$a$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{AD}$の上に$\mathrm{A}$から等距離にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$をとり$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$から面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足をそれぞれ${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{R}}^{\prime }$とする．

(1)　三角柱$\mathrm{PQR}‐{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }{\mathrm{R}}^{\prime }$の体積が最大になるときの$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

(2)　この三角柱の体積の最大値$V_0$と正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V$の比${\displaystyle \frac{V_0}{V}}$を求めよ．

【５】　平面上を運動する点があり，その$x$座標，$y$座標が時刻$t$の函数として

$x=f(t)=vt\cos \alpha \text{，}$

$y=g(x)=vt\sin \alpha -5t^2(v>0\text{，}0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

で与えられている．ある時刻$t_0$に$x=10\text{，}y=0$となるとして，その時刻$t_0$における$x\text{，}y$の変化率の$2$乗の和${(f^{\prime }(t_0))}^2+{(g^{\prime }(t_0))}^2$を$\alpha$の式で表わせ．また，この式の値を最も小さくするような$\alpha$の値を求めよ．

【３】　$\mathrm{AD}=a\text{，}\mathrm{BC}=b\text{，}\mathrm{AD}⫽\mathrm{BC}$なる台形がある．対角線$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BD}$の交点を${\mathrm{P}}_1$とし，$\mathrm{CD}$上に点${\mathrm{Q}}_1$を${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1⫽\mathrm{AD}$となるようにとる．次に，$\mathrm{A}{\mathrm{Q}}_1\text{，}\mathrm{D}{\mathrm{P}}_1$の交点を${\mathrm{P}}_2$とし，$\mathrm{CD}$上に点${\mathrm{Q}}_2$を${\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2⫽\mathrm{AD}$となるようにとる．次に$\mathrm{A}{\mathrm{Q}}_2\text{，}\mathrm{D}{\mathrm{P}}_2$の交点を${\mathrm{P}}_3$とし，$\mathrm{CD}$上に点${\mathrm{Q}}_3$を${\mathrm{P}}_3{\mathrm{Q}}_3⫽\mathrm{AD}$となるようにとる．以下同様にくりかえして，$n$回目にできる線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$の長さを$x_n$とするとき

(1)　$x_n$を$a\text{，}b\text{，}n$で表せ．

(2)　$▵\mathrm{D}{\mathrm{P}}_{n+1}{\mathrm{Q}}_n$の面積を$F_n$とするとき${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{F}_n$を求めよ．ただし，$\angle \mathrm{DBC}=\beta \text{，}\angle \mathrm{DCB}=\gamma$とする．

【５】　一辺の長さ$a$の正方形$\mathrm{ABCD}$の内部の動点$\mathrm{P}$で直交する折線$\mathrm{TPU}$がある（図参照）．$\mathrm{PT}$は辺$\mathrm{AD}$と$\mathrm{Q}$で交わり，$\angle \mathrm{AQT}$は$45\mathrm{°}$にたもたれている．正方形$\mathrm{ABCD}$の面積を二等分しつつ折線$\mathrm{TPU}$がうごくとき，線分$\mathrm{PQ}$の通過する部分の面積を求めよ．

【６】　$n$を$2$より大きい正の整数とする．曲線

$y=x^n\cdots \text{①}$

上で，$x$座標が$0\text{，}1\text{，}2$である点をそれぞれ$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通り$y$軸に平行な軸をもつ放物線

$y=f(x)\cdots \text{②}$

をえがく．曲線$\text{①}$および放物線$\text{②}$の$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}$の間にある部分の囲む面積を$S_1\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の間にある部分の囲む面積を$S_2$とするとき，

$S_1=S_2$

となるためには，$n$はどのような数でなければならないか．