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1964-10001-0101
1964 北海道大学
文類数学I
易□ 並□ 難□
【1】 1 辺の長さが 3 の正三角形 ABC の辺 BC を 1: 2 に内分する点を D とし, AD の延長が ▵ABC の外接円と交わる点を E とする. D から BE , EC におろした垂線の足をそれぞれ G , H とする.
(1) AD の長さを求めよ.
(2) DH の長さを求めよ.
(3) ▵ABC と ▵DGH との面積の比を求めよ.
1964-10001-0102
【2】 x に関するある二次方程式の 2 つの虚根 α =p+q ⁢i ,β =p-q ⁢i ( p ,q は実数, i=- 1 )の間に α 2+2 ⁢β=1 なる関係がある.
(1) この二次方程式を求めよ.
(2) α3+ α2⁢ β+α 2+3 ⁢β2 の値を数値で求めよ.
1964-10001-0103
【3】 x についての二次方程式 x2 -a⁢ (a+2 )⁢x+ a3- 1=0 が与えられている.ただし a は実数とする.
(1) この方程式がただ 1 つの正根をもつための a の範囲を求めよ.
(2) この方程式の 2 根がともに 4 より小さいための a の範囲を求めよ.
1964-10001-0104
数学II
【4】 x についての不等式 x-a a2 -x2 ≧ x -b b2- x2 を解け.ただし, a>0 , b>0 , a≠b とする.
1964-10001-0105
文類II・理類・水産類・医進・文類
理類・水産類・医進は【3】
【5】 x ,y についての不等式
x2- y2+ m≦1+ m⁢(x +y) ⋯(A)
において
(1) m=0 の場合と, m=1 の場合の 2 つの不等式を同時に満足する x , y を座標とする点の存在する範囲を斜線を引いて図示せよ.
(2) m のどんな値に対しても(A)の不等式を満足する x ,y の間にどんな関係があるか,それを図示せよ.
1964-10001-0106
文類数学II
【6】 0≦θ≦ π 2 において, f⁡(θ )=sin⁡ 3⁢θ+ cos⁡3⁢ θ, g⁡( θ)=a ⁢sin2 ⁡θ-sin ⁡3⁢θ とする.
(1) f⁡(θ ) が最大値をとるとき, sin⁡θ の値を求めよ.
(2) f⁡(θ ) を最大にする θ の値と g⁡ (θ) を最小にする θ の値とが一致するように a の値を定めよ.
1964-10001-0107
文類数学III
【7】 2 点 P ,Q はそれぞれ点 O を中心とした半径 3 cm, 4cm の同心円の周上を図に示す向きに毎秒 13 ラジアン, 1 2 ラジアンの等角速度で動くものとする.
(1) 点 P ,Q がそれぞれ A , B の位置から出発するものとし, t 秒後の P ,Q 間の距離を x として, x と t との関係式を導け.ただし 0≦ t≦10 とする.
(2) (1)において ∠POQ が π2 となる瞬間の x の変化率を求めよ.
1964-10001-0108
文類III・理類・水産類・医進
理類・水産類・医進は【5】
【8】 函数 f⁡ (x) の導函数 f′ ⁡(x ) は x⁢ (x 2-a ) であり, f⁡(0 )=b であるとき,次の問にそれぞれ答えよ.
(1) f⁡(x ) が極大値をもたないとき, a はどんな範囲の値か.
(2) f⁡(x ) が -1 <x<1 で極小値をもたないとき, a はどんな範囲の値か.
(3) -1<x <1 であるようなすべての x に対して f⁡ (x)< 0 となるとき,点 (a, b) の存在する範囲を図示せよ.
1964-10001-0109
【9】 点 A で x 軸に接し,軸が y 軸に平行な放物線と曲線 y= k⁢c -x とは点 B で交わり,かつ点 B における両曲線の接線が互いに直交している.ただし A , B の x 座標はそれぞれ 1 , 2 で, k と c は正の定数とする.
(1) k の値を求めよ.
(2) さらに,この両曲線と x 軸とで囲まれる図形の面積が 1 に等しいとき, c の値を求めよ.
1964-10001-0110
理類・水産類・医進
【1】 高さが 1 の正三角形 ABC の一点 P より 3 辺 BC ,CA , AB におろした垂線の長さをそれぞれ x 1 ,x 2 ,x 3 とする.
(1) x1+ x2+ x3 の値はいくらか.
(2) x2 と x3 との間に x2 +2⁢ x3= 1 の関係があるような点 P はどのような線上にあるか.その線を図示せよ.
(3) x1 ,x2 , x3 が 3 つの不等式
x 2+2 ⁢x3 ≦1 ,x 3+2 ⁢x1 ≧1 ,3 ⁢x1 +x2 +x3 ≦2
を満足するような点 P の存在する範囲を図示せよ.
1964-10001-0111
【2】 1-3 ⁢i は実係数の方程式 x 3+a ⁢x2 +b⁢ x+ c=0 の根である.この方程式と方程式 x 2+a ⁢x+2 =0 とが一根のみを共有するとき,定数 a ,b , c の値を求めよ.ただし i= -1 とする.
1964-10001-0112
【4】 放物線 y= x2- 1 2 上の相異なる 2 点 P ( x1, y1) ,Q ( x2, y2 ) を通り,それぞれ P ,Q における接線に垂直な 2 つの直線を l 1, l2 とする.
(1) l1 とこの放物線との交点の x 座標を x1 を用いて表せ.
(2) l1 と l2 がこの放物線上で交わるとき, x1 と x2 の関係式を求めよ.
(3) P と Q が(2)の関係を満足しながらこの放物線上を動くとき,線分 PQ の中点 M はどんな曲線上を動くか.かつその限界を求めよ.
1964-10001-0113
【6】 座標平面上を運動する点 P がある. t 秒後( t≧ 0 )の点 P の座標 x ,y は,次の 2 つの式で与えられている.
(x-2 )⁢(y +x-1 )=t- 1, x⁢(y -x+1 )=t+ 1
(1) 点 P のえがく曲線を求め,それを図示せよ.
(2) 点 P を通り x 軸に平行な直線,直線 x= 1 および(1)で求めた曲線で囲まれる部分の面積 S の t に関する変化率を求めよ.
理類,水産類,医進は全6問必須.文類は数学I(【1】〜【3】),数学II(【4】〜【6】),数学III(【7】〜【9】)から2科目選択.