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1964 北海道大学

文類数学I

易□ 並□ 難□

【1】  1 辺の長さが 3 の正三角形 ABC の辺 BC 1: 2 に内分する点を D とし, AD の延長が ABC の外接円と交わる点を E とする. D から BE EC におろした垂線の足をそれぞれ G H とする.

(1)  AD の長さを求めよ.

(2)  DH の長さを求めよ.

(3)  ABC DGH との面積の比を求めよ.

1964 北海道大学

文類数学I

易□ 並□ 難□

【2】  x に関するある二次方程式の 2 つの虚根 α =p+q i β =p-q i p q は実数, i=- 1 )の間に α 2+2 β=1 なる関係がある.

(1) この二次方程式を求めよ.

(2)  α3+ α2 β+α 2+3 β2 の値を数値で求めよ.

1964 北海道大学

文類数学I

易□ 並□ 難□

【3】  x についての二次方程式 x2 -a (a+2 )x+ a3- 1=0 が与えられている.ただし a は実数とする.

(1) この方程式がただ 1 つの正根をもつための a の範囲を求めよ.

(2) この方程式の 2 根がともに 4 より小さいための a の範囲を求めよ.

1964 北海道大学

数学II

易□ 並□ 難□

【4】  x についての不等式 x-a a2 -x2 x -b b2- x2 を解け.ただし, a>0 b>0 ab とする.

1964 北海道大学

文類II・理類・水産類・医進・文類

理類・水産類・医進は【3】

易□ 並□ 難□

【5】  x y についての不等式

x2- y2+ m1+ m(x +y) (A)

において

(1)  m=0 の場合と, m=1 の場合の 2 つの不等式を同時に満足する x y を座標とする点の存在する範囲を斜線を引いて図示せよ.

(2)  m のどんな値に対しても(A)の不等式を満足する x y の間にどんな関係があるか,それを図示せよ.

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文類数学II

易□ 並□ 難□

【6】  0θ π 2 において, f(θ )=sin 3θ+ cos3 θ g( θ)=a sin2 θ-sin 3θ とする.

(1)  f(θ ) が最大値をとるとき, sinθ の値を求めよ.

(2)  f(θ ) を最大にする θ の値と g (θ) を最小にする θ の値とが一致するように a の値を定めよ.

1964 北海道大学

文類数学III

易□ 並□ 難□

1964年北海道大文類【7】の図

【7】  2 P Q はそれぞれ点 O を中心とした半径 3 cm 4cm の同心円の周上を図に示す向きに毎秒 13 ラジアン, 1 2 ラジアンの等角速度で動くものとする.

(1) 点 P Q がそれぞれ A B の位置から出発するものとし, t 秒後の P Q 間の距離を x として, x t との関係式を導け.ただし 0 t10 とする.

(2) (1)において POQ π2 となる瞬間の x の変化率を求めよ.

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文類III・理類・水産類・医進

理類・水産類・医進は【5】

易□ 並□ 難□

【8】 函数 f (x) の導函数 f (x ) x (x 2-a ) であり, f(0 )=b であるとき,次の問にそれぞれ答えよ.

(1)  f(x ) が極大値をもたないとき, a はどんな範囲の値か.

(2)  f(x ) -1 <x<1 で極小値をもたないとき, a はどんな範囲の値か.

(3)  -1<x <1 であるようなすべての x に対して f (x)< 0 となるとき,点 (a, b) の存在する範囲を図示せよ.

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文類数学III

易□ 並□ 難□

【9】 点 A x 軸に接し,軸が y 軸に平行な放物線と曲線 y= kc -x とは点 B で交わり,かつ点 B における両曲線の接線が互いに直交している.ただし A B x 座標はそれぞれ 1 2 で, k c は正の定数とする.

(1)  k の値を求めよ.

(2) さらに,この両曲線と x 軸とで囲まれる図形の面積が 1 に等しいとき, c の値を求めよ.

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理類・水産類・医進

易□ 並□ 難□

【1】 高さが 1 の正三角形 ABC の一点 P より 3 BC CA AB におろした垂線の長さをそれぞれ x 1 x 2 x 3 とする.

(1)  x1+ x2+ x3 の値はいくらか.

(2)  x2 x3 との間に x2 +2 x3= 1 の関係があるような点 P はどのような線上にあるか.その線を図示せよ.

(3)  x1 x2 x3 3 つの不等式

x 2+2 x3 1 x 3+2 x1 1 3 x1 +x2 +x3 2

を満足するような点 P の存在する範囲を図示せよ.

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理類・水産類・医進

易□ 並□ 難□

【2】  1-3 i は実係数の方程式 x 3+a x2 +b x+ c=0 の根である.この方程式と方程式 x 2+a x+2 =0 とが一根のみを共有するとき,定数 a b c の値を求めよ.ただし i= -1 とする.

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理類・水産類・医進

易□ 並□ 難□

【4】 放物線 y= x2- 1 2 上の相異なる 2 P ( x1, y1) Q ( x2, y2 ) を通り,それぞれ P Q における接線に垂直な 2 つの直線を l 1 l2 とする.

(1)  l1 とこの放物線との交点の x 座標を x1 を用いて表せ.

(2)  l1 l2 がこの放物線上で交わるとき, x1 x2 の関係式を求めよ.

(3)  P Q が(2)の関係を満足しながらこの放物線上を動くとき,線分 PQ の中点 M はどんな曲線上を動くか.かつその限界を求めよ.

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理類・水産類・医進

易□ 並□ 難□

【6】 座標平面上を運動する点 P がある. t 秒後( t 0 )の点 P の座標 x y は,次の 2 つの式で与えられている.

(x-2 )(y +x-1 )=t- 1 x(y -x+1 )=t+ 1

(1) 点 P のえがく曲線を求め,それを図示せよ.

(2) 点 P を通り x 軸に平行な直線,直線 x= 1 および(1)で求めた曲線で囲まれる部分の面積 S t に関する変化率を求めよ.

理類,水産類,医進は全6問必須.文類は数学I(【1】〜【3】),数学II(【4】〜【6】),数学III(【7】〜【9】)から2科目選択.

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