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1964 東京大学 2次試験
文科・理科・衛生看護学科共通
【1】 a ,b ,c を相異なる数, x ,y ,z を連立方程式
{ x+a⁢ y+a2 ⁢z= a3 x+b⁢ y+b2 ⁢z= b3 x+c ⁢y+c 2⁢z =c3
の根とするとき, a3+ b3+ c3 を x ,y ,z で表わせ.
【2】 平面上に 2 つの曲線
y =x2 ⋯ (1) y=3 ⁢x2 +24⁢x +50⋯ (2)
がある.このとき 1 点 P をとり,曲線(1)の上の任意の点 A に対して,線分 AP を一定の比 m: n (m >0 ,n >0 ) に内分する点 B が必ず曲線(2)の上にあるようにしたい.
点 P の座標 (α ,β) と比 m: n の値とを求めよ.
【3】 点 V を頂点とし,正方形 ABCD を底面とする四角錐 V ‐ABCD があって,その 4 つの側面はいずれも底辺 20 cm , 高さ 40 cm の二等辺三角形である.
辺 VA 上に VP: PA=3: 1 なる点 P をとり, 3 点 P , B ,C を通る平面でこの四角錐を切るとき,切り口の面積を求めよ.
【4】 4 点 A 1( 0,0) ,A 2(1 ,0) ,A 3( 2,2) ,A 4(0 ,2) を頂点とする四辺形がある.この平面上に 4 点 P1 , P 2 , P3 , P4 をとって,
点 P 1 は P 4A 4 の中点,点 P 2 は P 1A 1 の中点,
点 P 3 は P 2A 2 の中点,点 P 4 は P 3A 3 の中点
となるようにする.
4 点 P 1 , P2 , P3 , P4 の座標および四辺形 P 1P 2P 3P 4 の面積を求めよ.
文科
【5】 曲線 y= a⁢x3 +b⁢ x2+ c⁢x+ d( a≠ 0) と y 軸との交点を A とする.この曲線上の点 P (x, y) における曲線の接線と y 軸との交点を Q とするとき,
limx→ 0⁡ AQ2 AP2 , limx →+∞ ⁡ AQ2 AP2
を求めよ.
理科・衛生看護学科
【5】 曲線 x⁢ y=1 の第 1 象限の部分に定点 P (a, b) があり,同じ曲線の第 3 象限の部分に動点 Q がある.
(1) 線分 QP の長さの最小値を a で表わせ.
(2) 線分 QP の長さが最小になるとき, QP が x 軸の正の方向と 30 ° の角をなすような a の値を求めよ.
【6】 函数 f⁡ (x)= x3+ a⁢x 2+b ⁢x は次の条件を満たすものとする.
(1) f⁡(1 )=4
(2) x≧0 のとき f⁡ (x)≧ 0
このとき ∫0 1⁡ f⁡(x )⁢dx の値を最大にする a ,b の値,最小にする a ,b の値を求めよ.