1966　北海道大学MathJax

【１】　$x\text{，}y\text{，}z$は実数で，かつ$xyz\ne 0$とする．

$5x+4y+2z=0\text{，}8x^3+27y^3+125z^3-90xyz=0$

のとき

(1)　$x:y:z$を求めよ．

(2)　${\log }_8\left|{\displaystyle \frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}}\right|$の値を求めよ．

【２】(1)　座標軸を$45°$回転するとき，次の二次曲線はどんな方程式で表わされるか．

$x^2+xy+y^2+\sqrt{2}ax-\sqrt{2}by=0$

(2)　$a\text{，}b$が$a^2+b^2=2$なる条件をみたしながら変わるとき，この二次曲線の中心はどのような曲線をえがくか．新しい座標によってこの曲線の方程式を求めよ．

【３】

(1)　$z=1-i$のとき，${|z-{\displaystyle \frac{1}{z}}|}^2$の値を求めよ．

【３】

(2)　$z+{\displaystyle \frac{4}{z}}=2$のとき，${\displaystyle \frac{1}{z^2}}$を極形式で表せ．

【３】

(3)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(3,4)\text{，}\overrightarrow{b}=(2,-1)$が与えられたとき，$\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$とが直交するように実数$x$の値を求めよ．

【４】

(1)　${(x^2-{\displaystyle \frac{1}{x}})}^9$の展開式における$x^3$の係数を求めよ．

【４】

(2)　ある野球チームの$9$人の選手のうち，打席が$3$番と$4$番に定着した選手$2$人をのぞいた残りの$7$人の打順をきめたい．投手と捕手とは$7$番，$8$番，$9$番のいずれかにすることにすれば，この$7$人の打順のきめ方は幾通りあるか．（答は整数値で示せ．）

【４】

(3)　$f^{\prime }\left(x\right)=-x^2+x+2$である曲線$y=f\left(x\right)$上の点で$y$の値が極大になる点を$\mathrm{P}\text{，}$極小になる点を$\mathrm{Q}$とするとき，直線$\mathrm{PQ}$の傾きを求めよ．

【５】(1)　$x$の関数$2x-b$の原始関数のうち完全平方式であるものを$f(x)$とする．$f(x)$を求めよ．

(2)　(1)のとき，$x$の関数$y=xf(x)$の極大値が$4$となるように$b$の値を定めよ．ただし$b>0$とする．

【６】　放物線

$y=a{x}^2\text{（}a>0\text{）}\cdots \text{①}$

上の点$\mathrm{P}$における接線の傾きを$m\text{（}\ne 0\text{），}\mathrm{P}$より$x$軸，$y$軸におろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．

(1)　曲線$\text{①}$と直線$\mathrm{PA}$および$x$軸によって囲まれた部分を$x$軸のまわりに回転したときに生ずる回転体の体積を$a$と$m$とを用いて表わせ．

(2)　(1)で得られた体積が，曲線$\text{①}$と直線$\mathrm{PB}$および$y$軸によって囲まれた部分を$y$軸のまわりに回転したときに生ずる回転体の体積に等しいときの$m$の値を数値で求めよ．

【５】(1)　${\displaystyle \frac{3x-7}{(2x+1)(x^2+4)}}={\displaystyle \frac{A}{2x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+4}}$が成り立つように定数$A\text{，}B\text{，}C$を定めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^2}{\displaystyle \frac{dx}{x^2+4}}$を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^2}\{{\displaystyle \frac{3x-7}{(2x+1)(x^2+4)}}+x{e}^x\}dx$を求めよ．

【６】　曲線$f(x)$上の任意の点$\mathrm{P}(x,y)$における接線はこの点を通る曲線$y=a{x}^3$のこの点における接線と直交するという．

(1)　$a$を消去して$x\text{，}y$および${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$に関する微分方程式を作れ．ただし

$y=f(x)\text{，}{\displaystyle \frac{dx}{dx}}={\displaystyle \frac{df(x)}{dx}}$

とする．

(2)　(1)の微分方程式を解け．

(3)　(2)の解のうち，点$(-2,1)$を通るものを求めよ．