1966　室蘭工業大学MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数とするとき，平面上の集合

$\mathrm{A}=\{(x,y)|x+y\geqq 0\}\text{，}\mathrm{B}=\{(x,y)|2x-y\geqq a\}\text{，}\mathrm{C}=\{(x,y)|x+by+1\leqq 0\}$

について，

(1)　$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}$を図示せよ．

(2)　$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\cap \mathrm{C}$が空集合となるような点$(a,b)$の存在範囲を求めよ．

【２】(1)　複素平面上の正$3$角形$\mathrm{ABC}$の$2$頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が表す複素数をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta$とすれば，頂点$\mathrm{C}$が表す複素数は$\beta +(\beta -\alpha )\omega$であることを証明せよ．ただし，$\omega$は$1$の立方根のうち実数でないものを表す．

(2)　$1$辺の長さが$a$に等しい正$3$角形$\mathrm{ABC}$が図の位置にあるとき，(1)の結果を用いて，頂点$\mathrm{C}$が表す複素数を$a$と$\theta$とで表せ．

(3)　(2)の正$3$角形$\mathrm{ABC}$の$2$頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がそれぞれ$x$軸，$y$軸の正の部分を動くとき，頂点$\mathrm{C}$の軌跡を求めよ．ただし，逆証は不要．

【３】　$a\text{，}b$を実数とするとき，$x$に関する方程式

$a\cos x+b\cos 2x=0$

は，$0$と$\pi$との間に実根をもつことを証明せよ．

【４】　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x=\cos n\pi$

を満足する数列$\{a_n\}$がある．

(1)　$a_n$を$x$で表せ．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$が収束するための実数$x$の範囲を求め，この級数の和のグラフをかけ．

【５】　放物線$y=x^2$を$y$軸のまわりに回転してできる曲面を内壁とする容器に水を入れ，回転軸を鉛直に保ちながら，底の小穴から水を流出させたら，$30$分で水面の高さが半減した．容器が空になるまでにはあと何分かかるか，小数第$1$位まで正しく求めよ．ただし，水が流出する速さは水面の高さの平方根に比例するものとする．