1966　東京大学　1次試験MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　ある正の数$a$に対して，連立$1$次方程式

$\begin{array}{rrrrrr}x& +& y& +& z& =4\\ (a-4)x& +& y& +& 5z& =0\\ -x& +& ay& +& z& =0\\ -3x& +& y& +& (a+4)z& =0\end{array}$

が，$x\ne 0\text{，}y\ne 0\text{，}z\ne 0$であるような解をもつならば$a=\boxed{}\text{，}x=\boxed{}\text{，}y=\boxed{}\text{，}z=\boxed{}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　直線$y=k$（$k$は定数）を引くとき，円$x^2+y^2=4$の内部にある部分の長さと，だ円

${\displaystyle \frac{{(x-6)}^2}{16}}+{\displaystyle \frac{{(y-2)}^2}{8}}=1$

の内部にある部分の長さが等しいとする．その長さを$a\sqrt{\sqrt{5}+b}$とし，$k=c+\sqrt{5}d$とすれば，$a=\boxed{}\text{，}b=\boxed{}\text{，}c=\boxed{}\text{，}d=\boxed{}$である．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$は一平面上にない空間の$4$点とし，線分$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BD}\text{，}\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}\text{，}{\mathrm{L}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{M}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{N}}^{\prime }$とする．次の$\boxed{}$にあてはまる言葉を，下の1，2，3で答えよ．

$\begin{array}{cc}\text{直線}\mathrm{L}{\mathrm{L}}^{\prime }\text{と}\mathrm{AC}\text{は，}& \boxed{}\\ \text{直線}\mathrm{LM}\text{と}{\mathrm{L}}^{\prime }{\mathrm{M}}^{\prime }\text{は，}& \boxed{}\\ \text{直線}\mathrm{L}{\mathrm{L}}^{\prime }\text{と}\mathrm{M}{\mathrm{M}}^{\prime }\text{は，}& \boxed{}\\ \text{直線}\mathrm{M}{\mathrm{M}}^{\prime }\text{と}\mathrm{N}{\mathrm{N}}^{\prime }\text{は，}& \boxed{}\end{array}$

• 1　ねじれの位置にある．
• 2　平行である．
• 3　交わる．

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$\mathrm{A}(0,10)\text{，}\mathrm{B}(0,0)\text{，}\mathrm{C}(5,0)\text{，}\mathrm{D}(14,12)$を平面上の$4$点とする．$\mathrm{D}$をとおり線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$とそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$で交わる直線をとり，$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$は同一円周上にある異なる$4$点となるようにする．このとき，この円の方程式は，

$x^2+y^2-\boxed{}x-\boxed{}y=0$

で，$\mathrm{F}$の座標は$(\boxed{},\boxed{})$である．

【５】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$f(x)$は$x$の$2$次式とし，その$x$のところに$f(x)$を代入してえられる式を$f(f(x))$で表わす．そのとき，

$f(f(x))=4x^2(f(x)+\boxed{})\text{，}f(0)>0$

が成り立つならば，$f(x)=\boxed{}{x}^2+\boxed{}x+\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$6$個の関数

$f_1(x)=x\text{，}{f}_2(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{，}{f}_3(x)=1-x\text{，}{f}_4(x)={\displaystyle \frac{1}{1-x}}\text{，}$

$f_5(x)={\displaystyle \frac{x}{x-1}}\text{，}{f}_6(x)={\displaystyle \frac{x-1}{x}}$

が与えられている．このとき，

$f_5$の逆関数は$f_a(x)$で，$a=\boxed{}$である；

$f_6(x)$の逆関数は$f_b(x)$で，$b=\boxed{}$である；

$f_5(x)$の$x$のところに$f_c(x)$を代入して$f_4(x)$となるならば，$c=\boxed{}$である；

$f_d(x)$の$x$のところに$f_6(x)$を代入して$f_4(x)$となるならば$d=\boxed{}$である．

（$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は，番号$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$のうちのいずれかである）

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる実数は何か．

　放物線$y=x^2-4x-3$と交わり，$x$軸に平行な任意の直線を$l$とし，$l$とその放物線との交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$を，その中点のまわりに正の向きに$60°$回転してえられる線分を${\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }$とすると，点${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }$はともに放物線

$y=\boxed{}{x}^2-(\boxed{}-\sqrt{3})x-\boxed{}-\boxed{}\sqrt{3}$

の上にある．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　直方体の$1$つの頂点$\mathrm{O}$に集まる$3$辺を$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$とする．$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{AC}=2\text{，}\angle \mathrm{BAC}=60°$であるとき，${\mathrm{OA}}^2=\boxed{}\text{，}{\mathrm{OB}}^2=\boxed{}\text{，}{\mathrm{OC}}^2=\boxed{}$である．

　また，点$\mathrm{O}$から$3$角形$\mathrm{ABC}$の平面までの距離は，${\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{\boxed{}}$である．

【４】　下の不等式1，2，3，4，5から，次の$\boxed{}$にあてはまるものを選び，数字1，2などで答えよ（$x\text{，}y$は実数とする）．

　$x+y<1$かつ$x-y<1$ならば，$\boxed{}$である．

　$x+y<1$かつ$\boxed{}$ならば，$x-y<1$である．

　$x+y<1$ならば，$x-y<1$または$\boxed{}$である．

　$\boxed{}$ならば，$x+y<1$または$x-y<1$である．

• 1　$y<1$
• 2　$y-2x<1$
• 3　$x-2y<1$
• 4　$x-y^2<1$
• 5　$x^2+y^2<1$

【５】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　関数

$f(x)=\boxed{}{x}^3+\boxed{}{x}^2+\boxed{}x+\boxed{}$

は，$x=1$で極大値$6$をとり，$x=2$で極小値$5$をとる．