1966　東京大学　2次試験MathJax

【１】　ある鉄道の旅客運賃計算規則は下記のとおりであり，それによると，距離が$319\mathrm{km}\text{，}349\mathrm{km}$のときの運賃は，それぞれ$970$円，$1010$円となる．下記の文中の$a\text{，}b$にあてはまる数を求めよ．ただし，$a\text{，}b$はともに$0.1$の整数倍の数である．

【２】　平面上のある直線$l$の上の任意の点$(x,y)$に対し，点$(4x+2y,x+3y)$がふたたび$l$の上にあるという．このような直線$l$をすべて求めよ．

【３】　$3$直線$x+y-1=0\text{，}x-y+1=0\text{，}3x+4y-5=0$で囲まれる$3$角形の内心の座標と，内接円の半径を求めよ．

【４】　半径$1$の定円$O$の周上に$1$点$\mathrm{A}$が与えられている．$\mathrm{A}$を中心とする円が，円$O$の直径$\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }$と交わる点を$\mathrm{R}\text{，}$円$O$と交わる点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とするとき，$4$辺形$\mathrm{APRQ}$の面積の最大値を求めよ．

【５】　空間の$2$点$(10,2,5)\text{，}(-6,10,11)$を直径の両端とする球面がある．

(1)　この球面が，$xy$平面からきりとる円の面積を求めよ．

(2)　この球面が，$z$軸からきりとる線分の長さを求めよ．

【５】　点$\mathrm{O}$を中心とする定円の円周上に$1$点$\mathrm{A}$を固定し，$\mathrm{O}$とも$\mathrm{A}$とも異なる点$\mathrm{P}$を半径$\mathrm{OA}$上にとる．点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{OA}$に垂直な弦の一端における円の接線が，$\mathrm{OA}$の延長と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．

　点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に近づくときの${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{PQ}}}{\overline{\mathrm{PA}}}}$の極限を求めよ．ただし，$\overline{\mathrm{PQ}}\text{，}\overline{\mathrm{PA}}$はそれぞれ線分$\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{PA}$の長さである．

【３】　平面上に点列${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n\text{，}\cdots$があり，${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1$の座標はそれぞれ$(0,0)\text{，}(1,0)$である．また，任意の自然数$n$に対し，線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の長さは線分${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$の長さの$2$倍で，半直線${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$が半直線${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$となす角は$120°$である．${\mathrm{P}}_{3n}$の座標を求めよ．

【４】　$x$に関する方程式${\displaystyle \frac{x}{9}}-\sin {\displaystyle \frac{\pi x}{6}}=0$の最大の根に，もっとも近い整数を求めよ．

【５】　半直線$\mathrm{OX}$が，点$\mathrm{O}$のまわりを毎秒$1$ラジアンの角速度で回転している．$\mathrm{OX}$上を運動する点$\mathrm{P}$が，時刻$t$秒において，点$\mathrm{O}$から$e^{2t}\mathrm{cm}$の距離にあるという．時刻$0$秒から$2\pi$秒までの間に，点$\mathrm{P}$の動く道のりを求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

【６】　箱の中に，$1$から$9$までの数字を$1$つずつかいた$9$枚のカードがある．それらをよくまぜて，その中から$4$枚のカードをつづけて取り出し，取り出した順に左からならべて$4$けたの数をつくる．この数が$1966$より小さくなる確率を求めよ．

【５】　$2$つの一次式$3ax+2\text{，}2x+b$に対して，

${\displaystyle {\int }_0^1}(3ax+2)(2x+b)dx=0$

が成り立つとき$a+b$はどのような範囲にあるか．

【６】　平面上で，曲線$x+y^2-5=0$を，$x$軸に平行なある直線$l_1$に関して折り返し，さらに別の直線$l_2$に関して折り返せば，曲線$x^2-y+1=0$に重なるという．直線$l_1$および$l_2$の方程式を求めよ．