1967　北海道大学

【１】　$f(x)=x^4-3x^3+(a+2)x^2-2ax$とする．

(1)　$f(x)$を因数分解せよ．

(2)　$x(x-2)>0$が$f(x)<0$の必要条件になるように$a$の範囲を定めよ．

【２】　変数$x\text{，}y$の間に$x-ay=1$なる関係がある．ただし，$x\text{，}y\text{，}a$はすべて実数で，$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$とする．

(1)　$a>0$のとき，$x^2+y^2$の最小値を求めよ．

(2)　$x^2+y^2$の最大値が$4$となるときの$a$の値を求めよ．

【３】　点$\mathrm{F}(1,2)$および直線

$x+2y+5=0\cdots l$

が与えられている．$x$軸，$y$軸を正の向きに鋭角だけ回転して得られた$2$つの直線

$2x-y=0\cdots \text{①}$，

$x+2y=0\cdots \text{②}$

を新しい座標軸にとり，それぞれ$X$軸，$Y$軸とする．

(1)　新しい座標軸に関する点$\mathrm{F}$の座標および直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$より直線$l$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となるような点$\mathrm{P}$の軌跡を新しい座標に関する方程式で表わせ．

【４】

(1)　${(1-x+y^2)}^6$の展開式における$x^3{y}^6$の係数を求めよ．

【４】

(2)　$5$つの学級からそれぞれ$2$人ずつ卓球選手を出して，図のように勝ち抜き戦を行う．同じ学級から出た選手はお互いに決勝戦以外では試合することがないようにしたい．最初の組合せは何通りあるか．整数値で答えよ．ただし組合せが問題で，たとえば，図で$\mathrm{X}$組と$\mathrm{Y}$組がいれかわっても同じものとする．

【５】　$z$は複素数で$|z|=1$を満たすものとする．

(1)　$|z-2|$の範囲を求めよ．

(2)　複素数$z-2$の偏角$\theta$の範囲を求めよ．

【６】　$3$次関数

$y=x^3-3x^2-3x+7\cdots \text{①}$

が与えられたとき

(1)　点$(3,-13)$より曲線$\text{①}$に引いた接線の方程式を求めよ．

(2)　(1)の接線の曲線$\text{①}$の$2$つの接点の間の部分とで囲まれる部分の面積を求めよ．

【２】　放物線$y^2=6x$において

(1)　この放物線上の原点と異なる点$\mathrm{A}(a,b)$における法線（接点を通り接線に垂直な直線）と$x$軸との交点の座標を$a$で表わせ．

(2)　この放物線の焦点を通る任意の弦$\mathrm{AB}$の両端$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$における法線が$x$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とするとき${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{AP}}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{BQ}}^2}}$の値を求めよ．

【３】　数列$z_1\text{，}{z}_2\text{，}\cdots \text{，}{z}_n\text{，}\cdots$は初項$48\text{，}$公比${\displaystyle \frac{1}{4}}(\sqrt{6}+\sqrt{2}i)$の等比（複素）数列である．

(1)　$z_4$を求めよ．

(2)　この数列の項で実数であるものを初めから順に$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$とするとき，$a_3$を求めよ．

(3)　無限級数$a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots$の和を求めよ．

【５】　$t\text{（}t\geqq 0\text{）}$を時刻を表わす変数とするとき，$2$つの動点$\mathrm{A}(2t^2+1,t^3)\text{，}\mathrm{B}(t^2+1,-{\displaystyle \frac{t^3}{9}})$がある．

(1)　$\mathrm{A}$のえがく曲線の方程式は$y=\boxed{}$であり，$\mathrm{B}$のえがく曲線の方程式は$y=\boxed{}$である．この空欄を適当にうめよ．

(2)　$t>0$のとき，$\mathrm{A}$の速度ベクトルと$\mathrm{B}$の速度ベクトルが互いに垂直になる時刻$t$を求めよ．

(3)　$t=0$から$t=1$までの間に$\mathrm{A}$が動いた道程を求めよ．

【６】　$y=f(t)$は$(0,+\infty )$で定義された関数で，

$f(t)>0\text{，}{f}^{\prime }(t)=({\displaystyle \frac{1}{t}}-1)f(t)\text{，}\underset{t\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(t)}{t}}=2$

であるという．

(1)　$f(t)$を求めよ．

(2)　$x=e^{-t}$とすれば，$t$を媒介変数として$y$は$x$の関数と考えられる．それを$y=g(x)$とするとき，$g(x)$とその極値とを求め，そのグラフの概形をかけ（$\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=0$を使ってよい）．