1967　東京大学　2次試験MathJax

【１】　$a$が正の定数，$n$が正の整数ならば，$x\geqq 0$において不等式$a{x}^{n+1}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt[n]{a}}}>x$が成り立つことを証明せよ．

【２】　一平面上に$3$個の半径$1$の円があり，それぞれ点$\mathrm{A}(0,0)\text{，}$点$\mathrm{B}(2\sqrt{3}，0)\text{，}$点$\mathrm{C}(\sqrt{3},3)$を中心とする．このとき，次の条件(ⅰ)と(ⅱ)とを満たす点$\mathrm{P}$の存在する範囲を定め，その面積を求めよ．

【３】　南北の方向に水平でまっすぐな道路上を，自動車が南から北へ時速$100\mathrm{km}$で走っている．また，飛行機が一定の高度で一直線上を時速$\sqrt{7}\times 100\mathrm{km}$で飛んでいる．自動車から飛行機を見たところ，ある時刻にちょうど西の方向に仰角$30$度に見えて，それから$36$秒後には北から$30$度西の方向に仰角$30$度に見えた．飛行機の高度は何$\mathrm{m}$であるか．

【４】　$a$がすべての正の実数をとって動くとき，直線$y=ax+b$が点$\mathrm{A}(0,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,1)$を頂点とする$3$角形を，面積の等しい$2$つの図形に分けるようにするには，$b$を$a$のどのような関数にとればよいか．

【５】　だ円${\displaystyle \frac{x^2}{a}}+a{y}^2=1\text{（}a>0\text{）}$を考える．$a$がすべての正の実数をとって動くとき，これらのだ円の上にある点全体はどのような範囲にあるか，その範囲を決定せよ．なお，それを図示せよ．

【２】　辺の長さ$2$の正方形$A$が，その中心を円$x^2+y^2=1$の周上におきながら，かつその辺を座標軸に平行に保ちながら動く．一方，同じ大きさの正方形$B$が固定されていて，辺が座標軸に平行であり，その中心が点$(1,2)$にある．このとき，$2$つの正方形$A\text{，}B$の共通部分の面積の最大値を求めよ．

注　正方形の中心とは，その$2$つの対角線の交点をいう．

【４】　方程式$x^2-xy+y^2=3$の表わす曲線の略図をえがくとき，その第$1$象限にある部分が$x$軸，$y$軸と囲む図形の面積を求めよ．

【５】　$y=a{x}^2$のグラフが$y={\log }_{e}x$のグラフに接するように定数$a$の値を定めよ．なお，そのときこれらのグラフと$x$軸とで囲まれる図形の面積を求めよ．

【６】　箱の中に，$1$から$9$までの番号を$1$つずつかいた$9$枚のカードがある．それらをよくまぜて，その中から$1$枚ずつ続けて全部を取り出し，取り出した順に新しく$1$から$9$までの番号をつける．このとき，新しくつけられる番号が前もってつけられている番号に一致するカードが，ちょうど$5$枚できる確率を求めよ．