1968　北海道大学

【１】

(1)　$0<a\text{，}a\ne 1\text{，}0<b$のとき$b^k=a^{\boxed{}}$である．この空欄をうめよ．

(2)　方程式$2^{\log x}{x}^{\log 2}-3x^{\log 2}-2^{1+\log x}+4=0$を解け．ただし，対数は常用対数とする．

【２】　実数$x\text{，}y$が$x^2+y^2=1$であるとき，$\sqrt{3}{x}^2+2xy-\sqrt{3}{y}^2$の最大値とそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【３】　複素数$\alpha \text{，}\beta$の間に${\alpha }^2+{\beta }^2=\alpha \beta \text{，}|\alpha -\beta |=2$の関係がある．次のものを求めよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$の偏角．

(2)　$\alpha$の絶対値．

(3)　複素平面上の$3$点$0\text{，}\alpha \text{，}\beta$を頂点とする$3$角形の面積．

【４】

(1)　$(1+x)(1+3x)(1+5x)\cdots \{1+(2n-1)x\}$を展開したときの$x^2$の係数を求めよ．

【４】

(2)　$6$個の数字$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$を用いて$4$けたの数をつくるとき，$1$つの数字を$1$回しか使わないとすれば，全部で(イ)$\boxed{}$個あり，そのうち$3210$より大きいものは(ロ)$\boxed{}$個ある．これらの空欄をうめよ．

【５】　$f(x)=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$がある．

　ただし$\alpha <\beta <\gamma$とする．

(1)　方程式$f(x)=m(x-\alpha )$が$\alpha$と異なる重根をもつとき，$m$の値とその重根を求めよ．

(2)　方程式$f^{\prime }(x)=0$は相異なる$2$実根をもつことを証明せよ．

(3)　方程式$f^{\prime }(x)=0$の$2$根を$A\text{，}B\text{（}A<B\text{）}$とするとき，${\displaystyle \frac{1}{2}}(\alpha +\beta )$と$A$との大小を比較せよ．

【６】(1)　不等式$0\leqq y\text{，}0\leqq y^2-x^2\leqq t^2\text{（}0<t<1\text{），}{x}^2-{(y-2)}^2\leqq 0$を満足する点$(x,y)$の存在する範囲を斜線を引いて図示せよ．

(2)　(1)の範囲を$y$軸のまわりに回転してできる回転体の体積$V(t)$を求めよ．

(3)　$V(t)$の$t$に関する変化率が最大となるときの$t$の値を求めよ．

【２】　曲線

$9x^2+8y^2=27\cdots \text{①}\text{，}$

${\displaystyle \frac{1}{36}{x}^2+\frac{5}{81}{y}^2}=1\cdots \text{②}$

がある．直線$y=x\tan \alpha (0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と$\text{①}\text{，}\text{②}$との第$1$象限での交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とするとき，$\overline{\mathrm{OP}}:\overline{\mathrm{OQ}}=\sqrt{2}:4$である．ただし，$\mathrm{O}$は座標の原点とする．

(1)　$\tan \alpha$の値と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　$xy‐$座標軸を原点のまわりに$\alpha$だけ回転して得られる$XY‐$座標を用いて，点$\mathrm{Q}$における$\text{②}$の接線の方程式を表わせ．

【４】

(2)　$6$個の数字$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$を用いて$4$けたの数をつくるとき，$1$つの数字を$1$回しか使わないとすれば，$3$の倍数は(イ)$\boxed{}$個，$5$の倍数は(ロ)$\boxed{}$個，$3$または$5$のいずれかの倍数であるものは(ハ)$\boxed{}$個ある．これらの空欄を埋めよ．

【５】　曲線$y=e^{-{\displaystyle \frac{{(x-a)}^2}{2}}}$（$a>0\text{，}e$は自然対数の底）に原点を通る接線が$2$本引けるとき，

(1)　$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　曲線の$2$接点の間の部分に変曲点がただ$1$つあることを証明し，その変曲点の座標をかけ．

【６】(1)　$t={\displaystyle \frac{1}{1+\sin x}}({\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\leqq x\leqq \pi )$のとき，${\displaystyle \frac{dx}{dt}}$を$t$の式で表わせ．

(2)　(1)の置き換えを利用して，定積分

${\displaystyle {\int }_{{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}}^{\pi }}{\displaystyle \frac{2}{{(1+\sin x)}^2}}dx$

の値を求めよ．