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1968 東京大学 1次試験
文科
【1】 次の にあてはまる数は何か.
中心が (0 , a ) で,点 (3 ,0) を通る円
x2+ y2- 8⁢y+ b =0
がある.この円と,円
x2+ y2+ c ⁢x -6⁢y +23=0
との交点を通る直線は,点 ( d ,0) と (2 ,-8) を通る.
【2】 次の にあてはまる数字を下の図の番号から選び答えよ.ただし,図には y 軸の位置は記入してない.
p を定数とするとき,関数 y= x -1x 2+( 1-p) ⁢x-p のグラフは
(1) p=-1 のときは図 e である.
(2) -1<p <1 のときは図 f である.
(3) p=1 のときは図 g である.
(4) 1<p のときは図 h である.
【3】 次の にあてはまる数は何か.
4 次式
P⁡(x )=x4 + i⁢ x3+ j ⁢x 2+ k⁢ x+ l
は x= -1 ,3 で極小, x=1 で極大となり, P⁡(x )=0 は負の 2 重根をもつ.
【4】 次の にあてはまる数は何か.
x が -3 ≦x≦3 なる範囲をうごくときの
y=x2 -2α ⁢x+4 ⁢α+5
の最小値は, α の値を与えることによって定まるから,その最小値を f⁡ (α ) とかく.このとき f⁡ (α)> 0 となるような α の範囲は m < α< n である.また f⁡ (α) は α = o のとき最大値 p をとる.
【5】 次の にあてはまる言葉を下の1,2,3,4から選び,その記号1,2,3,4で答えよ.
|a+ b|> a+b であるために, a⁢b <0 であることが q
|a- b|> a-b であるために, a<b であることが r
|a| +|b |> |a+ b| であるために, a⁢b≠ 0 であることが s
|a- b|> |a| -|b | であるために, a≠b であることが t
1 必要でも十分でもない.
2 必要であるが十分でない.
3 必要ではないが十分である.
4 必要かつ十分である.
理科
x が範囲 0≦ x< π2 をうごくとき, sin6⁡ x+cos6 ⁡x は x= a ⁢π で最大値 b をとり, x= c⁢ π で最小値 d をとる.
【2】 次の にあてはまる数は何か.
次の各方程式のグラフを -3 ≦x≦3 ,- 3≦y≦ 3 の範囲でえがいたものが,下の図1から図12までのどれかであるとすると,方程式(1),(2),(3),(4)のグラフを表わす図の番号はそれぞれ e , f , g , h である.
(1) log10⁡ x+log10 ⁡y=0
(2) log10⁡ (x+y- 3)+log 10⁡( x+y)= 1
(3) sin⁡( π x6 )+ sin⁡( π⁢y 6) =0
(4) 2⁢sin2 ⁡( π ⁢x3 )+ cos⁡( π ⁢y3 )= 1
(下の各図において,点線で囲まれた正方形は,いずれも | x|≦ 3, |y |≦3 の範囲を表わすものとする)
頂点の 1 つが (0 ,3 ) で直線 y= 0 の上に頂点 A , 直線 y= 2⁢x の上に頂点 B をもつ正 3 角形が 2 つある. B 点の x 座標は,小さい正 3 角形に対しては
i + j⁢ 3
大きい正 3 角形に対しては
k +l ⁢3
である.
x に関する方程式
| 2-(x +| x| )|= α⁢( x-3) -1
について,下記の(1),(2),(3),(4),(5)が正しいようにするには, a= m ,b= n , c= o ,d= p とすればよい.
(1) -∞<α <-1 ならば上の方程式の実根の数は 1 個である.
(2) -1<α <a ならば上の方程式の実根の数は d 個である.
(3) a<α< b ならば上の方程式の実根の数は 1 個である.
(4) b<α< c ならば上の方程式は実根をもたない.
(5) c<α< ∞ ならば上の方程式の実根の数は 1 個である.
【5】 次の にあてはまる言葉を下の1,2,3,4から選び,その記号1,2,3,4で答えよ.ただし, A ,B , C は平面上の点の集合であるとし,また, C に含まれない点の集合を C ′ で表わすものとする.
(1) A∩ B⊂ A∪ B であることは, A= B であるために q
(2) すべての C に対して A ∩C ⊃B ∩C であることは, A ⊃B であるために r
(3) A∪ C⊃ B∪ C となる C があることは, A⊃ B であるために s
(4) A⊂ C ,B ⊂C ′ となる C があることは, A と B とが交わらないために t